反证法在高中数学解题中的妙用

戴威伦

【摘要】 反证法是数学中应用较为常见的方法之一. 在高中数学解题中，有一些题目用正面直接方法求解往往难度极大，且费时费力，运用反证法求解此类问题不仅能提高解题效率，还可以开发思维能力，从而提高综合数学的能力. 本文从反证法的基本概述出发，阐明了反证法的理论基础和反证法解题的一般步骤，分析了反证法的应用范围，并针对具体的求解实例进行了反证法巧解的具体案例分析.

【关键词】 反证法；高中数学解题；适用范围；求解实例

我们都知道，反证法是数学中应用较为常见的方法之一，尤其是在高中数学中应用更是广泛. 数学的求解问题中，有些题目，用正面方法进行直接求解通常难度较大且费时，让我们证明或者是求解时感到比较困难，在有限的考试时间内很不划算. 而采用反证法则很容易解决. 然而，高中教材中缺乏针对反证法原理的相关介绍和总结，现将做题中经常遇到的反证法进行归纳和阐述.

一、反证法基本概述

反证法又称背理法，是求解数学问题的一种常用论证方法.其基本原理为：首先假设原命题的反命题是正确的，并将假设条件作为求解和推理的基础，再根据已知的公式、定理和定义以及原题中的已知条件进行逻辑推理和运算，以推出假设与逻辑的矛盾，从而肯定原命题的正确性.

通常，在棋类比赛中，有一种“弃子取势”的下棋策略，意思为：以牺牲某些棋子为代价，从而以获取优势. 科学家哈代曾说，背理法是远远优胜和高超于任何一种棋术的策略. 即使棋手牺牲几个棋子可能不会影响比赛结果，而数学家可以牺牲的是整个一盘棋. 反证法和其相似，都是一种为了巧妙取胜的最了不起的策略.

反证法即是要在假设命题的基础上进行推理认证，推出矛盾，推翻假设，从而证明原命题的正确. 通常有以下几种较为明显的矛盾：

（1）自相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与题中所给条件相矛盾；（4）与定理、公式相矛盾；（5）与事实相矛盾.

二、反证法的理论基础

反证法是以人的逻辑思维为依据的求解数学问题的方法. 反证法的理论基础是逻辑思维规律中的两大规律，即“矛盾律”和“排中律”. 这也间接说明了反证法是科学可信的.

排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而没有其他可能性，也不具备其他属性. 排中律在一定程度上揭示了思维的规律，即通常来讲，一个命题要么为真，要么为假，而无其他可能性. 其用符号表示为：P∨ .

矛盾律：矛盾律又称不矛盾律，是表示同一个目标不能同时得出两个矛盾的判断，换句话来讲就是，同一个命题不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某种程度上揭示了事物活动的规律性定律. 矛盾律用符号表示为：P∧ .

三、反证法解题一般步骤

反证法的一般步骤是如下：

首先，仔细审题，从题目中找出命题的条件和结论；

其次，将原命题进行否定转换，将题目中原有的条件和结论作为进一步推理的基础；

再次，从假设出发，运用课本中的定义、定理、公式以及题目中的条件，再加以逻辑推理，证明出与假设相矛盾的结论；

最后，肯定题目原有结论的正确性.

反证法的根本目标题设原有命题的不正确，通过命题的否定转换，并在否定转换的基础上运用公式、定理等条件进行矛盾揭露，使矛盾显化，从而证明原有结论的正确.

四、反证法的应用范围

高中数学中反证法应用范围十分广泛，但是课本上并未说明哪些题型适用用反证法，哪些题型该用反证法实际上并无特别规律可循，原则上来讲，因题而异，反证法的目标是简便解题步骤，缩短解题时间，实现巧解、便解的目的. 当所给题目下面求解困难，或者正面求解步骤较多时，就当考虑使用反证法来求解. 本文列举应用反证法求解的几个常见安全来具体说明反证法的应用.

（一）否定性命题的证明

如题目结论出现“没有...”、“不是...”、“不能”等字样的时候，通常正面直接证明不易入手，可以使用反证法来证明.

例：证明：同一个三角形中不能同时出现两个钝角.

已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角

求证：三个内角中不能同时存在两个钝角.

证明：假设∠A，∠B，∠C三个内角中有两个内角为钝角，不妨假设∠B > 90°，∠C > 90°，则∠B + ∠C > 180°，显然与三角形的内角等于180°相矛盾，因而，假设不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同时存在有两个钝角存在.

（二）唯一性命题的证明

通常在几何图形中要证明符合条件的图形有且只有一个时，即要求证明几何图形的“唯一性”，此类命题使用反证法证明更简单.

例：证明：一个圆只有一个圆心.

分析：此命题为唯一性命题，可用反证法证明.

证明：假设此圆有两个圆心A和B，在圆内任意作一条弦CD，并取CD的中点M，连接OM、AM，则OM、CD、AM、CD，过直线CD上的一点M有OM和AM两条直线与其垂直，这与经过一点有且只有一条直线与已知直线相垂直的结论相悖，故假设不成立，也即证明了一个圆只有一个圆心的命题是成立的.

（三）必然性命题的证明

必然性的命题通常是结论中带有“必然”字样，求解过程中应通过肯定结论，将原命题的肯定转化为否定的假设，运用一定的定理和定义找出矛盾，推翻假设，从而证明命题的必然性.

例：已知：a、b、c同为正整数，a为质数，且满足a2 + b2 = c2.

求证：b、c两数必然一奇一偶.

分析：可假设两数同为奇数或者同为偶数，看是否满足等式，如若不满足等式即可推翻假设，证明原命题的正确性.

证明：假设b、c两数同为奇或者同为偶数，由a2 + b2 = c2可知，（c + b）（c - b） = a2，由于b、c两数同为奇或者同为偶数，两者的加减运算也同为奇或同为偶，那么a2一定为偶数，且a也为偶数. 但是题目中已知a2为质数，与题设相矛盾，故假设不成立，原命题正确.

此外，还可给已知变量设定值. 假设a = 2，则（c + b）（c - d） = 4，因此有c + b = 4，c - b = 1，即b = ，c = ，或者c + b = 2，c - b = 2，即b = 0，c = 2，这与原命题中a、b同为正整数相矛盾，故b、c两数为一奇数、一偶数.

（四）无限性命题的证明

例：证明 为无理数.

分析：由于题目所提供的信息较少，如若从正面直接求解较为困难，解题思路可以从假设 是有理数开始，这也使得题目的信息量加大了，可以考虑将 表示成分数.

证明：假设 是有理数，且存在实数a、b，且a、b互为质数，使得 = ，即a2 = 8b2，故a为偶数，记为 a = 2L，故a2=4L2，b2 = 2L2，则b也为偶数，这与假设a、b互为质数相矛盾，故假设不成立，即 非有理数，而是有理数.

（五）不等式命题的证明

证明不等式是高中数学中常见的题型，特别是不等式的求解和计算，在历届高考中都会有大题出现. 反证法也是解不等式中常用的方法之一，通常情况下，解不等式的问题可以用到“对比法”、“分析法”和“综合法”，也有些正面直接求解较为困难的题目，这时就要用到反证法求解，可以简化求解过程，提高求解效率，使问题得到快速解答.

例：已知：m、n > 0，求证：m3 + n3 > m2n + mn2

证明：假设m3 + n3 < m2n + mn2

证明：由于m、n > 0，由此可以推出m3 + n3 < mn（m + n），由此可知（m + n）（m2 - mn + n2） < mn（m + n），即（m2 - mn + n2） < mn，故m2 + n2 < 2mn. 又因为与m、n > 0，m2 + n2 > 2mn相矛盾，故假设不成立，即证明了 m3 + n3 > m2n + mn2.

不等式问题的求解方法有很多种，形式也不尽相同，反证法与其他诸如分析法和综合法等其他方法一道，丰富了不等式的求解方法，求解优化了不等式的求解过程，多运用反证法、分析法和综合法求解不等式问题，可以扩展思路，提升求解能力.

五、反证法巧解的具体案例分析

（一）案例1——公式有改动

若下列方程：①x2 + ax - a + 3 = 0；② x2 + a - 1 + a2 = 0；③ x2 + ax + a = 0，三个方程中至少一个方程有实根，求a的取值范围.

解析：由题可知，三个方程中至少有一个方程有实根有三种情况：其一，①有实根，②③无实根；其二，②有实根，①③无实根；其三，③有实根，①②无实根；正面直接解答不仅烦琐复杂效率低，还易出错，尤其在考试中，正面解答很浪费时间. 而通过反证法则容易得多，我们只需要求得“三个方程都无实根”中a值的取值范围，并将所得的取值范围取补集，就是题目中要求的取值范围.

设三个方程全无实根，则Δ1 = a2 - 4（3 - a） < 0Δ2= a - 12 - a2 < 0Δ3 = a2 - 4a < 0，求得-6 < a < 2，a > 1，0 < a < 4解得1 < a < 2，再求补集，该范围的补集为a ≥ 2或a ≤ 1.

因此，当a ≥ 2或a ≤ 1时，题目所给的三个方程满足至少有一个方程有实根.

（二）案例2

如图所示，已知O是圆锥的底面圆心，SA、SB是圆锥的两条母线，C点是直线SB上的任意一点，求证：直线AC与平面SOB不垂直.

解析：为证明直线AC与平面SOB不垂直，可由反证法来求解. 先假设AC与平面SOB垂直，再证明假设的不成立，即矛盾性，间接证明AC直线与SOB平面不垂直.

解：假设AC⊥SOB面，由于SO⊥底面ABO，且SO在平面SOB内，故SOB面⊥底面ABO，因而AC∥底面ABO，显然，AC与底面ABO相交不垂直，因而假设不成立，直线AC与平面SOB不垂直.

（三）案例3

已知x，y∈[0，1]，证明：对于m，n∈R，存在满足条件的x，y，使得|xy - m - yn| ≥ 成立.

分析 此类问题主要是探讨存在性问题，可使用反证法求解.

证明：假设x，y∈[0，1]对于任意的x，y都成立时满足|xy - m - yn| ≤ . 令x = 1，y = 0，则由此可以得到，|m| < ；再令x = m，y = 1，可得出|y| < 成立；然后令x = 1，y = 1，则能够得出|1 - m - n| < 成立. 但是由于|1 - m - n| ≥ 1 - |m| - |n| > 1 - - = ，产生了矛盾，因此，假设不成立，原命题是正确的.

（四）案例4

求证：两条相交直线有且只有一个交点.

证明：假设两条相交直线交点多于一个，则至少有两个交点，这样过两点就可以做两条直线，这与公理：过两点有且只有一条直线相矛盾，因而假设错误，从而证明了原命题两条直线相交有且只有一个交点的正确性.

六、结 论

反证法在高中数学的求解过程中扮演着重要的角色，在否定性命题、唯一性命题、必然性命题、无限性命题以及不等式命题的证明等方面的作用不可替代，也是作为高中生应当熟练掌握的数学求解方法. 反证法以其独特的求解思维和求解方法对提升我们中学生的创造性思维以及逻辑思维有着十分重要的意义. 反证法不仅可以单独求解问题，可结合其他的方法求解，甚至可以求解同一问题过程中多次使用. 我们应在平时的解题中有意识、正确运用反证法求解数学问题，做到条理清晰、思维严谨、论证充分、掌握熟练，从而提高解决数学问题的能力.