从空间解析几何中窥探高等数学教学

刘刚 李浏兰 陈少林

【摘要】本文仅针对空间解析几何这部分内容，结合教学实践，从“知识的选择与处理、综合运用现代化教育技术及资源、以学生为主体”三个大的方面，窥探如何搞好高等数学教学.

【关键词】高等數学；空间解析几何；教学

【基金项目】湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通[2013]223号，序号332）和衡阳师范学院教改课题NJY201401，JYKT201404.

高等数学是大中专院校众多专业学生必学的一门基础课程.学习高等数学的意义不仅仅是获得知识，为学习后续相关课程做铺垫，而更重要的是掌握贯穿于该课程的数学思想、思维和方法，培养挖掘、分析和解决实际数学问题的能力.

尽管高等数学对培养相关专业学生的综合素质能起到举足轻重的作用，但因它的抽象性、逻辑性和严密性，让很多学生望而却步.加之，现在很多高等院校在向“实用型，应用型”进行转型尝试，我们的社会又存在些浮躁和急功近利的思想，这促使了更多的学生不注重高数理论的学习，而只关注知识的应用.无形之中，这些主客观因素给我们本就难以开展的高数课堂，带来了新的困难和挑战.作为讲授高等数学课程的教师，如何在最大限度地保持高数的知识和逻辑体系的基础上，减少理论的教学，有针对性地增加应用的内容，并有机地融入到高数课堂，这是一个值得我们长期思索的问题.

考虑到高等数学的内容比较多，我们将内容限制在空间解析几何部分.通常，我们将高等数学课程划分成五大板块：一元微积分，空间解析几何，多元微积分，级数，常微分方程.空间解析几何这部分内容在整个高等数学课程中所占的篇幅应该是最少的，但它是学习多元微积分的基础.这部分内容看似比较直观，但如果缺乏空间想象力的话，还是比较抽象的.另外，尽管这部分内容与我们生活的客观世界息息相关，但是学生缺乏观察、发现和思考.这就要求教师在课堂内外通过不同的方式方法来培养学生的空间想象力和思维能力，启发他们去观察和分析客观世界，进而更好地解决本专业涉及的这方面知识的数学问题.故下面笔者结合自身的教学情况，仅针对空间解析几何这部分知识，从三个大的方面肤浅地谈谈如何搞好高等数学教学，以期达到抛砖引玉的目的.

一、知识的选择与处理

1.精简课本内容，使其具有逻辑系和系统性

在这章内容的处理上，我们的考虑如下：为研究空间几何图形，我们采用代数的方法.首先引入空间直角坐标系，故空间中的点与一个三元数组形成一一对应，进而空间几何图形与一个数集相对应.为后续研究的简便性，引入向量的概念及其相关运算.基于空间直线和平面的几何特征，结合向量的相关性质，给出空间直线和平面的方程及其位置关系.最后由空间图形与代数方程的关系，给出一些常见的空间曲线和曲面的方程.在具体的教学过程中，我们将该章分为以下四讲：（1）空间直角坐标系；（2）向量及其相关运算；（3）直线和平面的方程及其位置关系的判定；（4）常见的空间曲线和曲面.

2.以数学史为导入，蕴含的数学思想与方法贯穿始终

每个人都是从听故事中长大的，故而数学故事最能激起学生学习数学的兴趣.然而，数学故事不同于文学作品，数学典故和数学知识的来龙去脉的讲演固然重要，重点却应该是了解蕴含其中的数学思想和方法.空间解析几何始于笛卡尔和费马研究，但笛卡尔侧重从轨迹出发后寻找它的方程，而费马却是从方程出发研究它的轨迹.可谓是异途同归，两者都沟通了图形和方程的联系，体现了数形结合的思想.故在教学中，不仅要求学生能将空间几何图形与对应的方程互相转换，还要能将空间几何图形之间的关系与对应的方程之间的关系进行互相转换.

3.课堂内容丰富多彩，讲授方式灵活多变

教师课堂讲授内容的来源大致可归结为如下四个方面：课本的知识，相关的历史，生活实际的问题，专业上的应用.虽然课堂上主要讲授的是课本的知识，但是为让学习更具趣味性、思考性和应用性，教师通常需要将上述的内容进行有机的融合.从相关的历史中，学生可了解知识的来龙去脉，感受思想和方法上的变化；从生活中的问题里，学生可感受到高数就在身边，它真实地存在于我们的生活之中；从专业上的应用上，学生能领悟到高数在专业学习中的作用，进而激发他们学习数学的热情.在选择好的内容后，教师还需要充分发挥自己的能动性，通过自己对这些内容的理解并进行恰当地编排，以不同的方式方法进行讲授.

例如：在讲授空间直角坐标系时，我们是这样考虑的：

（1）先用多媒体呈现一个场景：有一个6层的大型商场，外型像一个超大的长方体，内部呈“回”字型，中间是有顶的大厅.你现在要去该商场不同楼层且不同方位的6个商铺采购，请问你根据商场一楼的各楼层的商铺分布平面图，如何对这些商铺的空间位置定位？

（2）让学生互相讨论，抽几个同学来回答.然后启发他们怎么从数学的角度去解决.

（3）引入直角坐标系的相关概念.通过教师笔直站在墙角，左右手呈90度，以身体所在的直线为z轴，以左、右手所在的直线分别为x、y轴，头、左手、右手所指的方向为相应轴的正方向，从而将大楼一分为八，对前面的相关概念给出一个直观的认识.进而为提出的问题提供一种解决方法.

（4）让学生体会这里面蕴含的思想和方法，再让他们自己举出生活和专业上应用这些思想和方法的实例.

二、综合运用现代化教育技术及资源

1.合理使用多媒体教学

对于点、线、面等简单的图形，教师在黑板上容易实现，与此同时学生也可在稿纸上进行练习.但对于稍微复杂的二次曲面，在黑板上绘图就费时费力，涉及图形的翻转、旋转，曲线生成曲面的动态演示，曲面和曲面的交线等问题时，就只能靠个人的空间想象能力了.很多学生就会在想象的空间里迷失，因而课堂上就难以达到预期的教学效果.这时，就要借助于多媒体进行静态与动态的展示，从各个角度演示空间几何图形，最好能以动画的形式演示这些图形的形成过程.另外，结合现实生活中一些应用曲面的实物和图片，来进一步说明图形的形状与特征，以此加强学生对图形的认识和空间想象力的培养.

2.引入数学软件的教学

尽管计算机技术是每位大学生必修的课程，但是对于绝大部分同学而言，解决数学问题仍然停留在纸笔的阶段，几乎很少借助于计算机.但可以预见，信息化快速发展的未来，越来越多的人将会借助于计算机来完成自己的工作，从而某些数学计算、数据和图形处理与加工等问题只需人们利用相应的数学软件来解决.为此，数学软件的教学是未来的一种必然趋势.

目前，非数学专业使用得最多的数学软件是Matlab （Matrix Laboratory）.空间曲线、柱面、旋转曲面、二次曲面等的绘图动能通过该软件实现，还能通过动画的形式演示曲线、曲面的形成和变化过程，以及完成对图形的翻转和旋转等.引入数学软件的教学，不仅将他们从一些复杂的计算和图形处理等问题中解脱出来，而且能让学生更好地理解所学知识，提高用计算机处理数学问题的能力，进而激发他们的学习兴趣.

3.适当使用手机和电脑进行高数学习与讨论

随着经济水平的提高和科技的快速发展，很多大学生都购买了电脑；至于手机，几乎所有的在校大学生人手一台，而且大部分都是智能手机.可是有很大一部分同学使用电脑和手机的主要目的是玩游戏，或看连续剧，或聊天.大把的时间都这么浪费了，很是让人痛心.让我们的学生尽可能地利用手机和电脑来进行学习，这显然是不太现实的.但我们的教师在课堂上可利用一些手段和方法引导学生，将他們在手机和电脑上的关注的内容适当地进行转移.比如有针对性地提供高数教学课件和视频的网址（“国家精品课程资源网”值得推荐），让他们课后观看和讨论预留的相关问题；利用QQ或微信或公共邮箱建立高数交流圈，让学生及时地提交好的高数资料或网络资源链接，以及遇到的高数难题并相互讨论；适当地推荐一些寓教于乐的关于高数的文章和益智游戏.在空间解析几何这章中，我们向学生介绍了《平衡球》、《3d迷宫》两款益智游戏，产生了比较好的效果.学生在玩的过程中，不仅收获了快乐，无形中也培养了他们的空间想象能力.

三、以学生为主体

1.穿插自学环节，诱导学生思考并解决问题

高等数学作为一门基础课程，教师不仅要让学生掌握相关的数学概念、定理、公式和计算方法，还要培养学生的自学能力、独立思考和解决问题的能力，这也是高等教育培养目标之一.但因高等数学的教学任务重，课时少，如何在完成教学任务的同时，培养学生这方面的能力呢？

对于一些和高中数学有衔接的内容或难度不大的新内容，可以考虑让学生在课堂上花一些时间来自学，然后通过一些问题让他们积极思考并解答，最后让他们提出还没搞懂的问题.下面以空间的直线方程这部分内容为例.在学生自学这部分内容之前，我们将一些问题在黑板上或借助于多媒体进行展示，让他们带着这些问题边看边思考.问题设计如下：

（1）直线的几何特征是什么？在给定的直角坐标系下，如何利用直线的几何特征，转化为相应的代数方程？反过来，什么样的代数方程表示一条空间直线？

（2）空间直线的方程有几种不同的表达形式？相互之间如何进行转化？从几何上，怎样更好地理解这些表达式？

（3）对于直角坐标系xOy平面的直线，在空间直角坐标系中如何写出它的方程，两个方程有什么异同？

2.独立思考为主，互相讨论、协调合作为辅

培养学生的独立思考和分析能力，是高等数学教育培养的一个重要目标.确实，不管在教学的过程中，还是作业的布置，或者考核的方式上，教师在这方面做了很多努力，但是对于团队学习和协调合作却很少触及.自己的独立思考有利于自身思维的发展和知识的认知，但即使对于同样的内容，每个人的学习的方式方法、思维、表达等有所不同，而通过团队的学习、探讨和合作，不仅可学习别人好的思维模式、处理方式等，也可发现自身在学习上的问题，还可培养同学之间的合作意识与协同完成任务的能力.

因教学的时间有限，我们主要在以下三个地方实施团队讨论学习模式：（1）自学后，回答教师设计的问题；（2）有多种解法的习题；（3）每章学完后，该章的具有逻辑结构的知识脉络图.课堂内，我们以邻近的3-5人为一个学习小组；课堂外，我们以同一个宿舍的所有成员为一个学习小组（一般是4名同学，因我院的学生是四个人一个宿舍）.对于学习小组在课堂讨论的结果，我们会抽查几组在黑板上进行黑板秀或口头陈述，最后给予点评，从而让他们比较自己组和别组同学的结果，吸收别人好的想法和方法.对于课后讨论的结果，我们对做的好的小组予以表扬，利用多媒体对他们的结果进行展示，另外进一步完善他们的结果，补充一些他们没有想到的方法.3.理论联系实际，培养动手能力

通过将理论联系实际，借此来培养学生的动手能力，进而提高学生的综合素质.因高等数学里的数学思想和方法有其普性，这门课程又是众多专业专业课学习的基础，所以教师有必要将动手能力的培养提高到一个新的高度，从而为专业的学习与应用奠定坚实的数学基础.然而，对于现在的大学生而言，让他们从“看一看、摸一摸、摆一摆、做一做”中去摸索和探讨数学的相关概念，似乎显得有些难为情，认为这是小学生才干的事.如果给一个实际的问题，让他们用所学的数学知识来解答（通常要建立数学模型），他们中的部分人又难以解决.可以说，现在的很多学生都是“眼高手低”.

为培养学生的动手能力，教师可通过具体的例子来进行操作.在讲到柱面和旋转曲面时，可让学生观察教室的相关物品，找出具有柱面和旋转曲面特征的物体，分析相应曲面的母线、准线、旋转轴等，反过来利用这些曲线来生成柱面和旋转曲面，最后在稿纸上画出这些图形.在讲二次曲面时，教师可事先让空间想象能力不好的同学准备几块橡皮泥，在课堂上讲完相关的概念并通过多媒体展示后，让他们用橡皮泥来捏一些二次曲面的图形，多角度地进行观察，以此来加强图形的认识和理解.与此同时，让空间想象能力好的同学在脑海中生成这些曲面的图形，让这些图形在脑海中产生旋转、翻转甚至扭曲，以此进一步提高空间想象能力.课后，我们让学生四人为一组，利用所学习的空间曲面和曲线，设计一个具有美感和实用性的生活用品，例如水杯、饭盒、脸盆等，可提交实际的作品也可以画一些设计示意图，以此计入学生的平时成绩.

以上只是结合教学实践概括的一些教学想法.我们深知我们在高等数学教学之路上，仍然任重而道远.

【参考文献】

[1]杨金远.发展学生动手能力的一种有效方法——高等数学综合作业[J].吉林化工学院学报，1991，8（6）：39-41.

[2]巩子坤.论数学思想方法视域下的解析几何课程改革[J].曲阜师范大学学报，2006，32 （1）：125-128.

[3]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]赵志新，费忠华，吴建成，李博.大学数学实践性教学模式的构建与实践[J].中国高教研究，2008，（3）：92-93.

[5]孙艳蕊.高等数学教学方法的研究与实践[J].大学数学，2014，2：48-51.