一类插值型数值求积公式精确性对比分析

李小纲

摘 要：数值积分是数值分析理论的重要内容，也是解決科学与工程计算问题的重要方法.本文主要对插值型积分公式及其复化积分公式进行比较分析，最后通过数值实验验证了其精确性和可靠性。

关键词：数值积分；插值型；数值试验

一、 引言

微积分的发明是人类科学史上一项伟大成就.但在实际问题中，给定函数的定积分的计算不总是可行的，求解积分仍有许多局限性[1，2]。如的原函数不易求得，非常复杂，或被积函数没有函数表达式，只以表格形式给出，其原函数没任何意义.因此，寻求数值积分表达式的方法有重要的实际意义.

在诸多求解数值积分的方法中，方法是一种利用差值多项式来构造数值积分的方法[4，6]，其构造方法简单，但高阶的方法的收敛性不能保证，因此，实际计算中很少使用高阶公式，而是将积分区间细分，再每个小区间上使用低阶公式，即复化的积分公式来达到提高计算精度的目的。本文对积分公式及其复化公式作了分析，并做数值实验验证了分析的正确性。

二、 数值积分的基本思想

在积分公式中，当为偶数时，积分公式的代数精度至少为阶，同时对公式对的情况，文中没有列出.但对对公式，并不是阶数越高，公式的精度就越高，理论实验证明，当时，系数会出现负值，此时公式的稳定性不好。

四、 复化积分公式

由于积分公式的代数精度并不与成正比关系，同时为了提高公式的使用效果，人们将目标转向求积区间，即将整个积分区间先分成若干小区间，在每个小区间上使用低阶求积公式，然后将每个小区间上的计算结果进行求和，将求和结果作为整个区间上积分的近似值，即复化积分的基本思想。

因此，复化梯形公式为：

五、 算例分析

下面针对不同被积函数的数值积分（被积函数的原函数是有解析表达式）分别采用梯形公式，公式，公式及它们的复化积分公式进行求解[3，5]，积分区间为，计算结果如下：

由表一可以看出，梯形求积公式计算误差最大，逼近效果最差，而积分公式计算误差比梯形公式小一到两个数量级，积分公式计算误差比积分公式小两个数量级，积分公式计算效果最好。从代数精度的角度分析，积分公式代数精度最高，积分公式代数精度低两阶，梯形求积公式代数精度最低，和理论分析相吻合。因此，一般情况下，代数精度越高，积分公式计算精度也越高。

结合表一和表二可以得出，复化Newton-Cotes公式计算误差比单独计算误差要小。具体来看，复化梯形求积公式比单独梯形求积公式计算误差要小四个数量级，复化求积公式比单独求积公式计算误差要小7个数量级复化求积公式比单独求积公式计算误差要小8个数量级。

在表一中，当被积函数为时，由积分公式和积分公式计算误差为零，这是因为这两种公式代数精度分别为三阶和五阶，它对于次数不超过三次和五次多项式是准确成立，故计算误差为零。

六、 结论

本文通过对插值型积分公式的理论分析和数值试验，得到以下结论：插值型求积公式中，积分公式的计算效果最好，但计算式所用节点多，计算量比较大，积分公式和梯形求积公式的精度低，但计算量小；复化的Newton-Cotes公式比单独的Newton-Cotes就算效果要好，但计算量较大。因此，在实际计算中，可以根据问题的具体情况选择合适积分公式来计算。

参考文献：

[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉： 华中科技大学出版社，2006：79-92.

[2] 李有法.数值计算方法[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3] 姜健飞.数值分析及Matlab试验[M].武汉： 科学出版社，2004.

[4] 余伟，郑华盛，李羲.一类新的高精度数值积分公式的构造[J].数学的实践与认识，2012，42（18）：207-215.

[5] 刘鹏飞，徐乃楠.数值积分方法的比较教学研究与试验[J].长春师范学院学报（自认科学版），2007，26（6）：23-26.

[6] 杨少华，华少强.改进的Simpson公式及其代数精度[J].沈阳大学学报（自认科学版），2013，25（1）：80-83.

[7] 王能超.计算方法简明教程[M].北京：高等教育出版社，2004.