泰勒公式在近似计算中的应用

屈明双

【摘 要】本文给出了泰勒公式在近似计算中的几个应用，如果函数的形式过于复杂，就可以考虑利用泰勒公式将函数用简单的多项式函数近似代替，然后依据具体的精度要求进行计算，如超越函数的近似计算，导数的近似计算以及积分的近似计算。

【关键词】泰勒公式；超越函数；数值微分；数值积分

在高等数学课程中，泰勒公式一直是学生学习的重点与难点. 很多学生不理解为什么要引入泰勒公式，泰勒公式又由何而来. 实际上，如果教师在授课过程中，让学生多了解一些泰勒公式的应用，那么学生对该部分内容的掌握必然会比较深入. 本文将对泰勒公式在近似计算这一方面的几个应用做简单的介绍. 下面我们先回顾一下泰勒中值定理。

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，有

其中 ，这里是介于与之间的某个值。

1.超越函数的近似计算

许多超越函数如三角函数，指数函数，对数函数等都无法算出其精确值，但在理论研究和实际应用中，却需要求出来，学习了泰勒公式后，就可以将复杂的函数用简单的多项式函数近似表达，从而求出符合精度要求的近似值. 这部分的应用在高等数学课本中介绍较多，在这里仅通过一个例题来体现，不再赘述.

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3.积分的近似计算

众所周知，可以利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，可是当的结构复杂，求原函数困难时，或的原函数不能用初等函数表示时，很多积分的计算就变得相当困难，如，等，有了泰勒公式这一工具，可以考虑将被积函数用简单的函数表示出来，再进行积分计算求得数值解。

从几何意义上来说，就是用矩形面积近似代替了曲边梯形面积，上述两式称为矩形求积公式。

参考文献：

[1] 常迎香，栗永安等. 高等数学[M]. 北京：科学出版社，2009.

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[3] 易大义，沈云宝，李有法，计算方法（第二版）[M]，浙江：浙江大学出版社，2002.

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