柔度矩阵与刚度矩阵的关系的一种证明

吴明

摘 要：在学习过程中学生对柔度矩阵与刚度矩阵中的系数是否有倒数的关系产生困惑，同时鉴于结构力学教材未给出柔度矩阵与刚度矩阵的可逆性证明，本文利用虚功原理证明了柔度矩阵与刚度矩阵互为可逆，同时也揭示了柔度矩阵与刚度矩阵中的系数没有互为倒数的关系。

关键词：柔度矩阵；刚度矩阵；倒数

0 引言

众所周知，在现有的结构力学教材中，课本直接给出了柔度矩阵与刚度矩阵互为倒数的关系，或者利用刚度法或柔度法建立振型方程，从而说明柔度矩阵与刚度矩阵互为倒数的关系。本文作者直接利用虚功原理证明柔度矩阵与刚度矩阵互为倒数的关系。

1 功的互等定理

定理：在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12 等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。

位移互等定理：由单位荷载FPi=1所引起的与荷载FPj相应的位移δji等于由单位荷载FPj=1所引起的与荷载FPi相应的位移δij。

反力互等定理：支座 i发生单位广义位移⊿i=1时，引起的 j 支座沿⊿j方向的反力kji，恒等于支座 j发生单位广义位移⊿j=1时，引起的 i 支座沿⊿i方向的反力kij。

2 柔度矩阵与刚度矩阵的关系的一种证明

图1为一多自由度系统，其中图1（a）为系统仅i点发生单位位移的振动曲线，其中kij为i点发生单位位移需要在j点施加的力。图1（b）为系统在i点施加单位力的作用下振动曲线，其中δji为i点作用单位力j点发生的位移。图1（c）为系统在j点施加单位力的作用下振动曲线，其中δij为j点作用单位力i点发生的位移。

图1（a）中根据反力互等定理可知：kij=kji；图1（b）、（c）中根据位移互等定理可知：δij=δji；本文已經将kij=kji 及δij=δji标注在图上。

如图1所示，状态（a）上的力因状态（b）上的位移所做的外力虚功可表示为：

3 结束语

动力学中柔度矩阵与刚度矩阵互为可逆，但是柔度矩阵与刚度矩阵中的元素并不一定互为倒数。

参考文献

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