两个矩阵和的Drazin逆

杨晓英，刘新，王亚强

(1.四川信息职业技术学院基础教育部, 四川 广元 628017；2.宝鸡文理学院数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013)



两个矩阵和的Drazin逆

杨晓英1，刘新1，王亚强2

(1.四川信息职业技术学院基础教育部, 四川 广元 628017；2.宝鸡文理学院数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013)

摘要：研究了两个矩阵和的Drazin逆的表示。 根据一个分块矩阵拆分为两个三角矩阵的思想, 利用Drazin逆的相关性质, 给出了两个矩阵和在一定条件下Drazin逆表示的新的证明方法。

关键词：矩阵和；Drazin逆；三角矩阵

设Cm×n表示m×n阶复矩阵的集合,设A∈Cn×n,X∈Cm×n若满足下列方程[1]：Ak+1=Ak,XAX=X,AX=XA,则称X为A的Drazin逆，记作X=AD。这里ind(A)=k,ind(A)表示A的指数,rank(A)表示矩阵A的秩，Aπ=I-AAD。矩阵的Drazin逆在奇异微分方程、迭代法和控制论中都有广泛的应用[1]。众所周知,矩阵的Drazin逆存在且唯一。近年来, 关于矩阵和的Drazin逆的表示，许多学者在不同条件下都做了很多讨论[2-11]。其中文献[2]给出在P2Q+QPQ=0,P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0两种条件下两矩阵和Drazin逆的表示，本文给出和文献[2]相同条件的两矩阵和Drazin逆表示的新的证明方法, 并通过与文献[2]举相同的数值例子, 证实了Drazin逆表示结果的唯一性。

下面我们首先给出几个重要的引理。

引理1[1]设A∈Cm×n,B∈Cm×n, 那么(AB)D=A((BA)2)DB。

引理2[2]设P，Q∈Cm×n,如果PQ=0,那么

其中

1主要结果

下面给出在P2Q+QPQ=0,P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0两种条件下两矩阵和Drazin逆的表示的新的证明方法。

定理1设P,Q∈Cn×n,如果P2Q+QPQ=0,P3Q=0 , 则

(P+Q)D= (Q I)∑t-1i=0(PQ)π0-(PQ2+P2Q)(PQ)D-PQX2(PQ)πæèççöø÷÷PQ0PQ2+P2QPQæèççöø÷÷iQ2DX10P2Dæèççöø÷÷i+1

其中,

X2= ∑t-1i=0((PQ)D)i+2(PQ2+P2Q)(PQ)i(PQ)π+∑t-1i=0(PQ)π(PQ)i(PQ2+P2Q)((PQ)D)i+2-

(PQ)D(PQ2+P2Q)(PQ)D,

t=max{ind(P2),ind(Q2),ind(PQ)}。

其中

因为P2Q+QPQ=0,P3Q=0,得EF=0, 由引理2，

其中t=max{ind(E),ind(F)}。

应用引理3, 得

其中,

(PQ)D(PQ2+P2Q)(PQ)D，

t=max{ind(P2),ind(Q2),ind(PQ)}。

所以,

证毕。

定理2设P,Q∈Cn×n,如果PQ2+PQP=0,PQ3=0,则

(P+Q)D =(Q I)∑t-1i=0Qπ-Q2X1-QP2D-PD0Pπæèççöø÷÷Q2Q+P0P2æèççöø÷÷i(PQ)D0X2(PQ)Dæèççöø÷÷i+1IPæèççöø÷÷+

其中,x1,x2,t同定理1。

其中,

因为PQ2+PQP=0,PQ3=0,

得EF=0,由引理2，

2数值例子

且ind(P2)=1,ind(Q2)=1,ind(PQ)=2,

(P+Q)D=QD+QX1P+PD+QPQD+PQ2D+QPQDX1P+QPQX1PD+PQQDX1P+PQ2X1PD+PQP

3结论

本文通过不同的证明方法给出与文献[2]在相同条件下P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0两矩阵和Drazin逆的表示。

参考文献：

[1]BEN-ISRAEL A, GREVILLE T N E. Generalized inverses: Theory and applications[M]. New York: Springer, 2003.

[2] SHAKOOR A, YANG H, ALI I. The Drazin inverses of the sum two matrices and block matrix[J]. J Appl Math Informatics, 2013, 31(3): 343-352.

[3]LIU X F, YANG H. Further results on the group inverses and Drazin inverses of antitriangular block matrices[J]. Appl Math Comput, 2012, 218(17): 8978-8986.

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[5]冯烟利. 矩阵Drazin 逆的应用[J]. 山东师范大学学报：自然科学版，1997，12(3):252-259.

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[10]DENG C Y. Generalized Drazin inverse of anti-triangular block matrices[J]. Math Anal Appl, 2010, 368(1): 1-8.

[11] MEYER C D, ROSE N J. The index and the Drazin inverse of block triangular matrices[J]. SIAM J Appl Math, 1977, 33(1): 1-7.

Drazin inverse of the addition of two matrices

YANG Xiao-ying1, LIU xin1, WANG Ya-qiang2

(1. Department of Basic Education, Sichuan Information Technology College, Guangyuan 628017, China;2. School of Mathematics and Information Sciences, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, China)

Abstract∶We address Drazin inverse of the addition of two matrices. We present a new proof approach of Drazin inverse of the addition of two matrices in some given conditions with the separation of a block matrix into two triangular matrices and the relevant properties of Drazin inverse.

Key words∶matrix addition; Drazin inverse; triangular matrix

中图分类号：O151.21

文献标识码：A

文章编号：1002-4026(2015)05-0088-04

作者简介：杨晓英(1984- ), 女, 硕士, 讲师, 研究方向为矩阵理论。Email: yangxiaoying134@163.com

基金项目：四川省教育厅自然科学研究基金(14ZB0442,15ZB0465)

收稿日期：2015-05-04

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.02.016