周期冲击下簇生离散混合冲击模型的可靠性分析

姜培华

(安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖　241000)



周期冲击下簇生离散混合冲击模型的可靠性分析

姜培华

(安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖241000)

摘要：建立一类簇生离散混合冲击模型。假定冲击按周期来到，每个周期的冲击次数服从独立同分布的二项随机变量，冲击强度服从独立同分布的离散随机变量。首先在混合冲击模型下给出系统寿命的定义，研究系统寿命的生存函数、平均寿命，并给出其概率分布和递推公式；其次定义了系统失效时所经历的具有非零冲击量的周期数和系统失效时所遭受的冲击强度总和等可靠性指标，推导并给出这些指标概率分布的递推公式和期望表达式；最后在周期冲击次数服从0-1分布、冲击强度服从几何分布下，给出了混合冲击模型相关可靠性指标的数值分析过程。

关键词：混合冲击模型;生存函数;寿命分布;平均寿命;周期冲击;冲击总量;簇生

冲击模型是可靠性理论中一类重要的随机数学模型。起初冲击模型常用来刻画随机环境下工程系统的寿命规律，随着研究的推广，它的应用涉及更多领域，如物理、医学、交通、财政和保险等。冲击模型研究的主要内容是系统的寿命规律、平均冲击量和系统的失效概率，基于系统失效机制，可分为两类基本模型[1-2]：① 假定冲击强度具有累积效果，若逐次冲击强度的累积值超过系统的极限值则导致系统失效，称为累积模型；② 假定冲击强度无累积效果，若单个“大”的冲击强度超过系统的极限值则导致系统失效，称为极端模型。文献[3-4]分别研究了基础过程为Poisson过程和Poisson-Geometric过程的累积冲击模型的可靠性指标。对于冲击模型研究的其他主要问题参见文献[5-9]。在冲击模型的以往研究中大都关注冲击间隔和冲击强度服从连续分布的情形，也就是假定连续两次相邻冲击的时间间隔服从一连续概率分布，冲击强度是一组独立同分布的连续随机变量。对于离散冲击模型(冲击间隔和冲击强度均服从离散型分布)的研究文献相对较少，一些关于离散模型的研究成果见文献[10-12]。

在很多情形下系统遭受的冲击并不是逐个到来的点过程，而是在每一个来到时间点上同时存在随机个数的不同的冲击。本文考虑一类周期冲击下的簇生离散模型，冲击源按周期到来，周期可以理解为1个单位时间，如1 h、1 d或1 w等。在单个周期可能会同时释放若干个冲击，周期内的每个冲击以一定的概率(比如p)发生，每个周期发生的冲击次数是一组独立同分布的离散随机变量。假定冲击强度和冲击来到过程是独立的。

Xj表示系统在第j个周期内遭受的冲击次数，且诸Xj独立同分布于参数为(r,p)的二项分布。Bji表示第j个周期内的第i次冲击的强度，假定诸冲击强度Bji都是独立同分布的离散随机变量，且具有累积概率分布函数FB(x)和概率分布列fB(x)，则第j个周期的冲击强度总量和前n个周期的冲击强度总量可分别表示为：

在冲击量可累积情况下，给定系统冲击的极限值k，则累积模型系统失效的等待时间(系统寿命)为

(1)

在极端冲击情况下，给定系统瞬时冲击极限值m，则极端模型系统失效的等待时间(系统寿命)为

Tm=min{n:Mn>m}

(2)

其中Mn=max{A1,A2,…,An}。

考虑到Xj(j=1,2,…)与Bji(j=1,2,…;i=1,2,…,r)都是独立同分布的，从而可得每个周期的冲击总量Aj(j=1,2,…)也是独立同分布的，其累积概率分布函数和概率分布列可分别表示为：

(3)

(4)

1混合冲击模型

将累积模型和极端值模型结合于同一个系统，建立具有下述机制的混合冲击模型：冲击的单独作用和累积作用均对系统产生影响。如果一个足够“大”的冲击强度超过系统瞬时极限值m，或多个“不太大”冲击的累积强度超过系统累积极限值k，系统都会失效。失效时间取决于二者中较早来到者，故混合冲击模型系统失效的等待时间(系统寿命)为

(5)

当k≤m时，混合冲击模型就是累积冲击模型。因此本研究重点讨论当k>m时混合冲击模型的相关性质和结果。

定理1对于k>m≥1和n≥1，混合冲击模型的系统寿命Zk,m的生存函数为

其中P{Zk,m>0}=1。

证明对于k>m≥1和n≥1，由Zk,m的定义可知

对In取条件可得

故结论成立。

系统的平均寿命是表征系统好坏的一个重要的可靠性指标，下述推论给出了系统平均寿命E(Zk,m)的递推表达式。

推论1对于k>m≥1，在混合冲击模型下系统的平均寿命为

其中E(Z0,m)=[1-(1-p)r]-1。

证明由定理1可得，E(Zk,m)可表示为

移项整理即得

为了更好地描述系统的寿命特征，对于k>0,m>0，定义如下3个随机变量：

其中：Ij是一个贝努利随机变量，且E(Ij)=1-(1-p)r；N(Zk,m)表示在混合模型下系统失效时所经历的具有非零冲击量的周期个数；S(Zk,m)表示在混合模型下系统失效时所遭受的冲击总量。

定理2对于k>m≥1和n≥1，随机变量N(Zk,m)的分布律为

其中φ(n,s,k,m)满足如下递推公式：

证明对Zk,m取条件有

又

记φ(n,s,k,m)=P{N(s)=n,Zk,m>s}，则有

对Is取条件可得

A1≤m,…,As-1≤m,a≤m}fA(a)+

(1-p)rP{N(s-1)=n,Wk,m>s-1}=

另一方面，对Is取条件有

[1-(1-p)r]P{N(s-1)=n-1,Zk,m>s-1}+

(1-p)rP{N(s-1)=n,Zk,m>s-1}=

[1-(1-p)r]φ(n-1,s-1,k,m)+(1-p)rφ(n,s-1,k,m)

综上可知定理2成立。

定理3在混合冲击模型下，系统失效时所遭受的冲击总量S(Zk,m)的分布律为：

当s>k，有

当m

其中Φ(n,s,m)满足如下递推公式：

证明为了便于书写和证明，记Φ(n,s,m)=P{S(n)=s,Tm>n}，由S(Zk,m)的定义可得

当s>k时，对In取条件有

类似地，当m

关于Φ(n,s,m)，对In取条件有

Φ(n,s,m)=P{S(n)=s,A1≤m,…,An≤m}=

[1-(1-p)r]P{S(n-1)=s-An,A1≤m,…,An≤m}+

(1-p)rP{S(n-1)=s,A1≤m,…,An-1≤m}=

(1-p)rP{S(n-1)=s,A1≤m,…,An-1≤m}=

综合上述两种情况定理3成立。

根据随机变量N(Zk,m)和S(Zk,m)的定义，利用瓦尔德定理易知下述推论成立。

推论3对于k>m>0,r>1，随机变量N(Zk,m)和S(Zk,m)的期望如下：

2数值算例

本节利用Matlab软件，在给定冲击强度Bji和单周期内冲击次数Xj的概率分布下，分析了混合模型下系统的3个可靠性指标的变化情况，为了便于计算，作如下简化：

1) 假定单周期内的冲击次数Xj服从概率为p的贝努利分布，此时的冲击强度Bji可以简记为Bj，从而相应的3个指标可以简化为：

2) 假定每次的冲击量Bj服从发生率为θ的几何分布，对于任意的j冲击量Bj都是独立同分布的，且与冲击次数Xj和冲击来到过程均独立。

3) 根据假设1)和2)有

在p=0.05,0.1和θ=0.125,0.2以及(k,m)=(5,3),(10,3),(10,5),(20,5)下，计算得出E(Zk,m)，E[N(Zk,m)]和E[S(Zk,m)]的结果，见表1。分析表1可知：

1) 当冲击极限值(k,m)增大时，系统平均寿命就增大。当给定系统冲击极限值(k,m)时，发生概率p增大，则系统平均寿命减小。

2) 当冲击量Bj的概率分布给定时，系统失效时所遭受的非零冲击的平均周期数E[N(Zk,m)]和失效时所遭受的平均冲击总量E[S(Zk,m)]保持不变，且与发生概率p无关。

表1　几何冲击下混合模型指标的数值分析

3结束语

目前，关于连续型冲击模型的研究比较成熟，但关于离散型冲击模型的研究相对较少。本文假定冲击按固定周期来到，在每个周期末会产生若干个不同的冲击，每个周期发生的冲击次数是独立同分布的二项随机变量序列，每次的冲击强度是独立同分布的离散随机变量序列，冲击来到过程、单周期的冲击次数和冲击强度三者相互独立。在上述假设下研究了混合冲击模型的寿命分布、平均寿命、系统失效时所经历的具有非零冲击量的周期个数以及系统失效时所遭受的冲击总量等可靠性指标。给出了系统寿命的生存函数和平均寿命的递推公式、非零周期数和冲击总量两个指标的概率分布递推公式和期望的表达式。最后，在给定冲击强度服从几何分布、单周期内冲击次数服从贝努利分布下，分析了混合模型下系统的3个可靠性指标的变化情况，并给出相应结论。

参考文献：

[1]李泽慧，白建明，孔新兵.冲击模型：进展与应用[J].数学进展，2007，36(4)： 385-398.

[2]李泽慧，黄宝胜.一种冲击源下冲击模型的寿命分布及性质[J].兰州大学学报(自然科学版)，1999，35(4)：1-7.

[3]王丙参，魏艳华，戴宁.损伤可加冲击模型的可靠性指标[J].北京联合大学学报(自然科学版)，2012，26(1)：66-69.

[4]王丙参，李艳颖，常振海.Poisson-Geometric过程在可靠性理论中的应用[J].齐齐哈尔大学学报，2012，28(3)：83-85.

[5]BAI J M,LI Z H,KONG X B.Generalized shock models based on a cluster point process[J].IEEE Transactions on Reliability,2006,55(3):542-550.

[6]ERYILMAZ S.Generalizedδ-shock model via runs[J].Statistics and Probability Letters,2012,82(2):326-331.

[7]FINKELSTEIN M F.Marais.On terminating Poisson processes in some shock models[J].Reliability Engineering and System Safety,2010,95(4):874-879.

[8]MALLOR F E.Omey.Shocks,runs and random sums[J].Journal of Applied Probability,2001,38(2):438-448.

[9]SUMITA U J,SHANTHIKUMAR G.A class of correlated cumulative shock models[J].Advances in Applied Probability,1985,17(2):347-366.

[10]AVEN T,GARDER S.Optimal replacement in a shock model:discrete time[J].Journal of Applied Probability,1987,24(1):281-287.

[11]GUT A.Mixed shock models[J].Bernoulli,2001,7(3):541-555.

[12]ERYILMAZ S.On the lifetime behavior of discrete time shock model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2013,237(1):384-388.

(责任编辑何杰玲)

Reliability Analysis of a Mixed Model Under Clustered Discrete Shocks of Periodical Arrival

JIANG Pei-hua

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Abstract:A class of discrete clusters of mixed shock model was established, assuming that the shock came in cycles and in each cycle the number of shocks were independent and identically distributed random variables with binomial distribution, and the shock intensity impact obeyed discrete random variables. First, under the mixed shock model, the system’s lifetime was defined, the survival function and expectation of the system’s lifetime were studied, and their probability distribution and recursive formulas were also given. Secondly, we defined the number of periods in which the system has a non-zero amount of shock during failure and the amount of total shocks which the system suffered by the failure time. Furthermore the recursive formula expressions about the probability distribution and the expectation of those indexes were derived. Finally, assuming that the number of shocks in a period obeyed 0-1 distribution and the shock intensity followed geometric distribution, we given a numerical analysis of the relevant reliability index.

Key words:mixed shock model; survival function; lifetime distribution; mean lifetime; periodic shock; total shocks; cluster

文章编号：1674-8425(2016)04-0154-07

中图分类号：O211.4

文献标识码：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.04.026

作者简介：姜培华(1979—)，男，山东曹县人，硕士，讲师，主要从事概率统计和随机过程研究。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11401006)；安徽省自然科学基金资助项目(1208085QA04)；2015年安徽省高等教育提升计划省级自然科学研究一般项目(TSKJ2015B29)

收稿日期：2015-10-21

引用格式：姜培华.周期冲击下簇生离散混合冲击模型的可靠性分析[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(4):154-160.

Citation format：JIANG Pei-hua.Reliability Analysis of a Mixed Model Under Clustered Discrete Shocks of Periodical Arrival[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(4):154-160.