定数截尾下Lomax分布失效率和可靠度的贝叶斯估计

龙　兵， 张明波

(1.荆楚理工学院数理学院，荆门 448000;2.中山大学数学与计算科学学院，广州 510275)



定数截尾下Lomax分布失效率和可靠度的贝叶斯估计

龙兵1*， 张明波2

(1.荆楚理工学院数理学院，荆门 448000;2.中山大学数学与计算科学学院，广州 510275)

摘要：由定数截尾寿命试验数据，得到了样本的似然函数. 当取形状参数的先验分布分别为共轭先验分布族和Jeffreys先验时，根据贝叶斯公式得到了形状参数的后验分布，并进一步得到了失效率和可靠度的后验分布.当取平方损失和熵损失函数时，根据后验风险最小的原则,由贝叶斯统计方法得到了失效率和可靠度的贝叶斯估计.通过计算机随机模拟1 000次得到失效率和可靠度的均值和均方误差，并且从均值和均方误差两方面对几个估计值进行了比较，结果表明如果没有充分的先验信息可以利用，无法得到超参数a、b较为准确的估计时，应优先使用Jeffreys先验.

关键词：Lomax分布； 失效率； 可靠度； 贝叶斯估计

Lomax分布具有单调的失效率，在寿命试验数据处理中起着重要的作用，该分布的统计性质已被研究，如在多种损失函数下，当尺度参数已知时形状参数的贝叶斯估计[1-8]；研究了Lomax分布次序统计量的性质和渐近分布[9]；在完全样本下研究了2个参数的区间估计和假设检验[10]；根据次序统计量的分布，在缺失数据样本下研究了Lomax分布尺度参数的估计[11]. 失效率和可靠度函数是可靠性统计中2个重要的量，文献[12]对作业时间服从指数分布的调度规则的失效率进行了分析，给出失效率的无偏估计量和置信区间.然而针对定数截尾样本，尚未见到研究Lomax分布失效率和可靠度的贝叶斯估计的文献，本文将就这个问题进行探讨.

两参数Lomax分布的概率密度函数为

f(x;θ,)>0，θ>0.

(1)

其分布函数为

F(x;θ,)>0，θ>0,

(2)

其失效率函数为

(3)

可靠度函数为

R(x)=1-F(x;θ,).

(4)

对一些高可靠性的产品进行寿命试验，常采用定数截尾试验，具体方案如下：从服从Lomax分布(1)的产品中，随机抽取n个样品进行寿命试验，当有r个样品失效时停止试验，设失效数据为X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，本文假设尺度参数已知，将基于这个试验样本对Lomax分布失效率和可靠度的贝叶斯估计问题进行讨论.

1取共轭先验分布族时的贝叶斯估计

设X(1)≤X(2)≤…≤X(r)为来自Lomax分布(1)的样本容量为n的定数截尾样本(为方便起见，可将X(i)的下标数字省略括号，下文的Xi表示第i个最小观测值)，当r=n时为全样本情形.

令x*=(x1,x2,…,xr)，样本x*的似然函数为

(5)

将式(1)、(2)代入式(5)，可得

(6)

在贝叶斯统计中，参数θ是随机变量，需要给出一个合适的先验分布(常用共轭先验分布和无信息先验分布).若取形状参数θ的共轭先验分布为Ga(a,b)，其密度函数为

(7)

由式(6)、(7)，根据贝叶斯公式可得到θ的后验密度函数

(8)

由正则性可得θ的后验密度函数为

(9)

由于H(x)=θ/(+x)，则θ=(+x)H，dθ=(+x)dH.因此,H(x)的后验密度函数为

g(H)=

(10)

下面将在几类不同的损失函数下，给出失效率和可靠度的贝叶斯估计.

定理1在平方损失函数L(H,δ)=(H-δ)2下，若形状参数θ的先验分布为式(7)，则Lomax分布失效率H(x)的贝叶斯估计为

证明由于在平方损失函数下，H(x)的贝叶斯估计为后验分布的均值，因此

令(b+m+t)(+x)H=y，则

因此,失效率H(x)的贝叶斯估计为

定理3在平方损失函数L(R,δ)=(R-δ)2下，若形状参数θ的先验分布为式(7)，则Lomax分布可靠度R(x)的贝叶斯估计为

证明在平方损失函数下，H(x)的贝叶斯估计为后验分布的均值，则

(11)

令[b+m+t+ln(1+x/)]θ=y，则式(11)为

(12)

证明

由定理2的证明过程可知可靠度R(x)的贝叶斯估计为

2取无信息先验时的贝叶斯估计

因此,根据Jeffreys准则[13]，取形状参数θ的先验分布为

(13)

由式(6)、(12)，根据贝叶斯公式可得到θ的后验密度函数为

(14)

根据先验分布π2(θ)可得如下定理.

定理5在平方损失函数L(H,δ)=(H-δ)2下，若形状参数θ的先验分布为式(12)，则Lomax分布失效率H(x)的贝叶斯估计为

定理7在平方损失函数L(R,δ)=(R-δ)2下，若形状参数θ的先验分布为式(12)，则Lomax分布可靠度R(x)的贝叶斯估计为

定理5～定理8的证明过程类似于定理1～定理4，在此略.

3Monte Carlo随机模拟

用随机模拟来比较失效率和可靠度的几种估计的优劣.具体步骤如下:

1)产生一组容量为n=50的服从U(0,1)的相互独立随机样本Y1,Y2,…,Yn；

Xi=,

则X1,X2,…,Xn是服从Lomax分布(2)的随机样本，确定截尾数n-r，得到截尾样本；

3)当取定参数a=8,b=0.3及变量x的值时，可以计算出失效率和可靠度在不同损失函数及先验分布下的贝叶斯估计.以上步骤重复模拟1 000次，计算在不同的截尾数下，失效率和可靠度的均值和均方误差(MSE).模拟结果分别列于表1和表2.

表1　失效率H(x)的各种估计的均值和均方误差

表2　可靠度R(x)的各种估计的均值和均方误差

由表1和表2可知，当形状参数的先验分布取为Jeffreys先验分布，并且在平方损失函数或者熵损失函数下，失效率和可靠度的贝叶斯估计与真值的偏差及均方误差都较小，是较好的估计.当形状参数的先验分布取为共轭先验分布时，失效率和可靠度的贝叶斯估计与真值的偏差及均方误差都比取Jeffreys先验分布时大一些.因此推荐使用Jeffreys先验作为形状参数的先验分布.

参考文献：

[1]肖小英，任海平.熵损失函数下两参数Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].数学的实践与认识,2010,40(5):227-230.

XIAO X Y,REN H P.Bayesian estimator of shape parameter of two-parameter Lomax distribution under entropy loss function[J].Mathematics in Practice and Theory, 2010,40(5):227-230.

[2]周明元.对称熵损失函数下两参数Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].统计与决策，2010(12):161-162.

[3]姚惠,谢林.不同损失下Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].数学杂志,2011,31(6):1131-1135.

YAO H,XIE L.Bayes estimation of shape parameter of Lomax distribution under different loss functions[J]. Journal of Mathematics, 2011,31(6):1131-1135.

[4]姚惠.Linex损失下Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].统计与决策,2011(16):173-175.

[5]姚惠.熵损失函数下Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].遵义师范学院学报，2011,13(6):107-109.

YAO H. The Bayes estimation of shape parameter of Lomax distribution under entropy loss function[J]. Journal of Zunyi Normal College，2011,13(6):107-109.

[6]芦凌飞.刻度平方误差损失下Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].商丘师范学院学报，2012,28(6):38-40.

LU L F. Bayesian estimate of shape parameter of Lomax distribution under scale squared erro loss function[J]. Journal of Shangqiu Normal University,2012,28(6):38-40.

[7]余慧敏.复合Linex对称损失下Lomax分布参数的Bayes估计[J].广东海洋大学学报，2013，33(4):87-89.

YU H M. Bayesian estimation for parameter of Lomax distributeon under compound Linex symmetric loss function[J].Journal of Guangdong Ocean University, 2013,33(4):87-89.

[8]韦师.复合LINNEX对称损失下Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].贺州学院学报，2014,30(1):112-114.

WEI S.Bayesian estimation for parameter of Lomax distribution under compound LINNEX symmetric loss function[J].Journal of Hezhou University, 2014,30(1):112-114.

[9]龙兵.两参数Lomax分布次序统计量的性质和渐近分布[J].兰州交通大学学报，2013,32(4):164-167.

LONG B.Properties of order statistics and asymptotic distribution of Lomax distribution[J].Journal of Lanzhou Jiaotong University, 2013,32(4):164-167.

[10]龙兵.两参数Lomax分布中参数的区间估计和假设检验[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(2):176-179.

LONG B.The interval estimation and hypothesis test of the parameters from Lomax distribution[J].Journal of Jiangxi Normal University(Natural Science),2014,38(2):176-179.

[11]龙兵.缺失数据样本下Lomax分布尺度参数的估计[J].统计与决策,2014(19):21-23.

[12]汤健超,张国基,张毕西,等.作业时间服从指数分布的调度规则失效率分析[J].华南师范大学学报(自然科学版),2011,43(1):46-49.

TANG J C,ZHANG G J,ZHANG B X,et al. Failure probability analysis on scheduling rule with exponentially distributed processing time[J].Journal of South China Normal University (Natural Science Edition),2011,43(1):46-49.

[13]茆诗松.贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1999:102-103.

【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Bayesian Estimation of Failure Rate and Reliability on Lomax Distribution Under Type-II Censored Samples

LONG Bing1, ZHANG Mingbo2

(1.Department of Mathematics and Physics, Jingchu University of Technology, Jingmen 448000, China;2. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)

Abstract：Likelihood function of the samples is got by type-II censored life test data. Taking the prior distribution of the shape parameter as conjugate prior distribution and Jeffreys prior distribution respectively, posterior distribution of the shape parameter is obtained according to the Bayesian formula, and further the posterior distribution of the failure rate and reliability are obtained. When choosing square loss and entropy loss function, based on the principle of minimum posterior risk, Bayesian estimation of the failure rate and reliability are obtained through the Bayesian statistical method. Mean and mean square error of the failure rate and reliability are obtained through the computer’s 1000 times stochastic simulation. Several estimates are compared from two aspects of mean and mean square error. Further if there is no sufficient prior information can be used, and more accurate estimation of super parameters a, b could not be obtained, it is recommended to use Jeffreys prior.

Key words：Lomax distribution; failure rate; reliability; Bayesian estimation

中图分类号：O212.8

文献标志码：A

文章编号:1000-5463(2016)02-0102-05

*通讯作者:龙兵，副教授，Email: qh-longbing@163.com.

基金项目：湖北省教育厅重点科研项目(D20134301)；荆楚理工学院院级科研项目(ZR201504)

收稿日期：2015-05-22《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n