热水喷泉现象的理论研究

刘建晓，郑永春，史宫会，范媛媛

(衡水学院 a.电子信息工程学院；b.化工学院，河北 衡水 053000)



热水喷泉现象的理论研究

刘建晓a，郑永春a，史宫会b，范媛媛a

(衡水学院 a.电子信息工程学院；b.化工学院，河北 衡水 053000)

摘要：研究了莫尔吸量管中吸入部分热水产生的喷泉现象，应用伯努力方程得到最大喷射高度的表达式，讨论了吸水高度、平衡温度及喷嘴孔径对最大喷射高度的影响. 通过多项式拟合求得平衡温度与吸水高度的关系式，解决了平衡温度不易测量的难题.

关键词：热水喷泉；伯努力方程；最大喷射高度；IYPT

大学物理热学中有这样一个实验：将莫尔吸量管中吸入部分热水，将一端堵住并倒置，使得吸量管小孔向上，此时可看到水像喷泉一样从小孔涌出. 对于此实验，在热学课本中给出的解释大多为：热水将封闭气体预热，使得气体膨胀对外做功，水便喷出. 本文研究部分吸入热水的吸量管产生喷泉的实验现象，讨论吸水高度、平衡温度及喷嘴孔径对喷泉最大高度的影响. 这是2016年国际青年物理学家竞赛(IYPT)的一道赛题，也是河北省第2届大学生物理竞赛试题之一. 对于此问题的研究多为对实验现象的研究，就其所适用的物理规律、物理公式讨论较少，理论依据较为缺乏[1-2]. 而理论研究的最大困难在于，能否确定热水喷泉喷射时的温度以及找到压强与喷射速度之间所满足的关系式. 本文主要针对这些问题进行了研究.

1理论分析

实验原理如图1所示，莫尔吸量管长度为l，喷嘴小孔半径为r1，面积为S1，管身半径为r2，横截面积为S2，外界温度为T1，每次实验吸入热水后气体预热平衡温度为T2，吸入热水的高度为h1，则管内所封入气体的高度为h2=l-h1，外界大气压为p1，管内大气压为p2.

(a)喷水前　　　(b)喷水中图1　热水喷泉装置示意图

求解喷泉最大喷射高度H的关键是如何求得热水喷射瞬间的速度v1，忽略空气阻力的影响，则垂直面内的喷泉喷射可类似为竖直上抛运动，即在最大高度处水柱的速度应满足v=0. 设吸水后倒立瞬间，下液面所处的位置为0势能面，如图1(a)所示. 在喷射过程中某时刻t，设下液面上升位移为x，液面速度v2，尖嘴处喷出水的高度为H，水流速度为v1，如图1(b)所示,则在x与H所在两点位置应用伯努力方程得[3-6]：

(1)

(2)

将封入管内的气体作为理想气体，由理想气体状态方程得：

(3)

(4)

将(2)式和(4)式代入(1)式得：

(5)

对(5)式关于高度H的微分方程两边求导可得：

(6)

解(6)式可得H随时间的变化规律. 图2为给定边界条件，H(0)=0，H′(0)=5,即初始状态，水柱以5 m/s的初速度从小孔处喷出的时间变化规律. 由图2可以看出，在设定条件下，喷泉高度随时间先增加后减小. 在最大高度处应该有喷水速度v=0，则可令(5)式等于0，从而求得喷泉的最大高度H.

图2　喷泉高度随时间的变化

2仿真计算

2.1吸水高度对喷泉最大高度的影响

外界温度T1=20 ℃，平衡温度T2=80 ℃，吸量管长度l=0.3450 m，喷嘴孔径r1=0.59 mm，管身半径r2=4.5 mm，应用(5)式编程求解最大高度H.

图3为吸水量的变化对喷泉最大高度的影响，在平衡温度保持80 ℃不变的情况下，封入吸量管的气体对外做功，推动水柱上升. 由于吸水量的增加会导致水柱的质量增加，因此喷泉高度会随吸水的质量增大而减小.

图3　喷泉最大高度随吸水量的变化

2.2平衡温度对喷泉最大高度的影响

吸水量h1=0.128 m,平衡温度T2为变量，其他量与2.1中相同，通过仿真计算求得喷泉最大高度随气体温度T2的变化，如图4所示. 由图4可以看出，随温度T2的升高，喷泉的最大高度H也在增加. 这是由于温度升高使得气体压强增大，对水做功增加所致. 因此，温度是决定喷泉高度的一个重要变量.

图4　喷泉最大高度随温度的变化

图5　喷泉最大高度随小孔半径的变化

2.3喷嘴孔径对喷泉最大高度的影响

吸水量h1=0.128 m，平衡温度T2=80 ℃时，改变喷嘴小孔半径r1，其他量与2.1中相同. 通过计算求得喷泉最大高度H随r1的变化，如图5所示. 由图5可以看出，随小孔半径r1的增大，最大高度H不断降低. 由(2)式可知：小孔半径的增加使得水流的速度降低，因此喷泉最大高度下降.

3实验分析

针对以上分析进行实验研究，测量数据如表1所示.

表1　80 ℃时，喷泉最大高度随吸水量变化实验数据

将实验数据描点，并与仿真计算2.1中喷泉最大高度随不同温度下吸水高度的变化曲线进行对比. 由理论分析可知影响喷泉最大高度的主要因素有：吸水高度h1，预热气体的平衡温度T2，小孔半径r1. 由于实验条件与仿真计算2.1所设置条件一致，因此图6中实验数据与理论曲线的偏差说明所吸热水温度与预热气体平衡温度T2并不相等. 由于热水与气体进行热交换过程较为复杂[7]，并且在实验过程中平衡温度也不容易得到. 这里采用作图法得到了热平衡温度T2. 图6中画出了不同平衡温度T2时喷泉高度与吸水高度的对应曲线，则实验数据与不同温度曲线的交点即为所对应平衡温度. 图6中实验数据表明喷泉最大高度先增大后减小，说明封入气体的平衡温度T2随吸水高度h1先增大后减小.

图6　喷泉最大高度随吸水量变化的实验分析

通过分析可求得不同吸水量h1时，所对应的气体平衡温度T2，如表2所示. 将表2数据进行多项式拟合，可得到函数T2(h1)，本例中拟合函数为

将函数T2(h1)代入程序中进行计算，则可求得与实验结果相吻合的规律.

表2　 吸水量h1与热平衡温度T2的对应关系

图7　平衡温度与吸水量的对应关系

图8　喷泉最大高度与吸水量的对应关系

图7为平衡温度与吸水量的对应关系曲线，由图7可以看出，多项式拟合结果与实验结果基本一致，仅在峰值附近偏差较大. 图8为采用拟合关系式求得的喷泉最大高度与实验数据的对比结果. 同样在峰值附近有一定偏差，这可能是由于峰值附近，数据变化量较大，数据采集较少所致. 在峰值两侧实验数据与理论分析则基本一致，吻合较好.

4结束语

本文对热水喷泉现象从理论上进行了分析，得到了喷泉最大高度的函数关系式，并讨论了影响喷泉最大高度的因素. 对照实验数据进一步对理论模型进行了调整， 通过多项式拟合求得了平衡温度与吸水高度的关系式，解决了在喷泉实验过程中，平衡温度不易测量的难题. 最后通过对拟合的温度对应关系模型进行计算得到了与实验数据基本一致的结果.

参考文献：

[1]周怀伟. 温度变化——“喷泉”实验探讨[J]. 广州化工,2005,33(4):74-75.

[2]薛梅. 喷泉系列实验设计和创新能力的培养[J]. 扬州教育学院学报,2000(3):65-67.

[3]赵近芳,王登龙. 大学物理简明教程 [M]. 2版. 北京：北京邮电大学出版，2013:67-76.

[4]李海宝,姜洪喜,张琳,等. 一例关于伯努利方程知识点的教学案例[J]. 物理与工程，2015,25(1)：61-64.

[5]李复. 可压缩流体的伯努利方程[J]. 大学物理，2008,27(8)：15-18.

[6]严导淦. 流体力学中的总流伯努利方程[J]. 物理与工程,2014,24(4):47-53.

[7]植田辰洋,姚普明,何乃翔. 气、液二相流的流动和传热[J]. 天津商学院学报,1985(1):1-18.

[责任编辑：任德香]

Research on the hot water fountain

LIU Jian-xiaoa, ZHENG Yong-chuna, SHI Gong-huib, FAN Yuan-yuana

(a. School of Electronics and Information Engineering; b. School of Applicative Chemistry，Hengshui University， Hengshui 053000, China)

Abstract:The fountain phenomena were studied when a Mohr pipette was partially filled with hot water. The formula of the maximum jetting height was deduced using Bernoulli equation, and the influences of suction height, equilibrium temperature and nozzle aperture on maximum jetting height were discussed. The relation between temperature and suction height was obtained by polynomial fitting, thus the equilibrium temperature was measured easily and accurately.

Key words:hot water fountain; Bernoulli equation; maximum jetting height; IYPT

中图分类号：O35

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)04-0023-04

作者简介：刘建晓(1984-)，男，河北衡水人，衡水学院电子信息工程学院讲师，硕士，研究方向为计算物理、电磁场与微波技术.

收稿日期：2015-12-21；修改日期：2016-03-13