基于Levenberg-Marquardt算法的直流电感器电感参量估计

盛洪江，毛建东，李学生，李新中

（1.北方民族大学 电气信息工程学院，宁夏 银川 750021；2.宁夏银利电器有限公司，宁夏 银川 750021）

0 引言

传统的电感测量方法主要针对交流电感，可分为伏安法［1-2］、LCR［3］表法和谐振法［4-5］。 传统的电感测量方法不能同时满足激励频率高、激励电流大的条件，因此不适合功率或直流电感器测量［6］。工作在直流状态下的直流电感器，由于直流磁化的作用，电感铁芯中除存在交变磁场外，还存在着稳态磁场，属于单向磁化状态。随着直流电流的增大，其稳态磁场的强度随着基本磁化曲线增大，铁芯的磁导率与磁场强度（激励电流）曲线在中段出现一个极值后再减少（对应于最大激励电流的饱和区）。在相同情况下，由于电流较大有时接近饱和区，同一电感器的电感在直流工作条件下的值比在交流条件下小，故不能直接用LCR电桥仪测试直流电感。

直流电感测量方法大致分为同一法［7-11］、差分法［12］、示波器法［6］3 类。 综合现有研究成果来看，目前国内市场缺乏切实可行的直流大电感虚拟仪器系统。本文基于设计的智能直流电感测试仪，采用LCR电路零输入电流响应以最大限度地仿真直流电感工作环境，并采用基于LCR放电时间电流函数的Levenberg-Marquardt算法（以下简称L-M算法）的非线性参数估计算法估算电感与直阻的思路，直接逐点计算电感与直阻。

1 基于L-M算法的直流电感测量原理

1.1 LCR二阶电路零输入响应的电流时间函数参数关系计算

本文采用LCR二阶电路零输入响应原理求解电感，且实验中电解电容器容量较大，达到几十甚至上百mF，因此必须考虑电容器的等效电路，如图1（a）所示。电容器在实际试验中存在损耗电阻，这个电阻可能大于电感线圈的电阻。损耗电阻分为金属损耗和介质损耗。金属损耗由电流导致的极板、触点、端钮发热及极板的振动引起，它随着频率的升高而增大。引起介质损耗的原因是离子的移动（电导和层间极化）、偶极分子的旋转或极板的位移、介质中所含空气以及极板边沿处空气的电离作用，它随着频率的增高而降低。

图1 电容器和电感器的等效电路及其化简电路Fig.1 Equivalent circuit and simplified circuit of capacitor and inductor

图1（a）中，C为电容器本身电容及其寄生电容的总和；Rp为极间等效漏电阻，包括极板间的漏电损耗及介质损耗、极板与外界间的漏电损耗和介质损耗；Ls为电容器的分布电感，RC为其引线金属损耗电阻。在低频103～104Hz范围内，电容呈现容抗特性，损耗逐渐减少；而在大于105Hz的高频段内，由于电容中的金属损耗占主要部分，且随着频率增高电容呈现感抗特性，损耗开始逐渐增加，其间有1个最小频率点即该电容的自身谐振频率，对应的损耗即为金属损耗电阻。本文中，电容器串联电阻引入的金属损耗比并联电阻的介质损耗更为重要。因此可将电容器的等效电路简化为总电容与金属损耗电阻的串联，如图1（a）中所示。同样，电感器在高频时不仅要考虑本身的感性特性，还需要考虑绕制导线的电阻以及相邻线圈之间的分布电容。电感器的等效电路如图1（b）所示，寄生旁路电容Cp和本身电阻RL分别表示由分布电容和绕制导线带来的综合效应。电感器的谐振频率约为109Hz，该谐振点以下电感器表现为感性，之上则表现为容性。本文只考虑感性情形，即随着频率的增加其感抗是递增的，不考虑寄生电容的影响，从而可将电感器简化为电感和直阻的串联，如图1（b）中所示。

图2为LCR二阶电路原理图。该电路的微分方程式为：

其中，L、C、R分别为待测电感、充电电容电容量、等效总电阻；i为通路电流，由图2中的电流传感器测量，放电时刻电流为0；U0为放电时刻电容C两端的初始电压，亦即该时刻电感器两端的电压，由图2中的电压传感器测量；RL为电感器直阻；RC为电容器金属损耗电阻；Rm为保证该LCR二阶电路处于过阻尼状态而添加的匹配电阻。

图2 LCR二阶电路简图Fig.2 Simplified 2nd-order LCR circuit

令 a=LC、b=RC、c=U0/L，则微分方程变为：

该微分方程的解分过阻尼、临界、欠阻尼3种情况，由于开关采用单向的IGBT器件，为安全起见，测试过程只采用过阻尼的情况。

过阻尼情况对应 b2＞4a，即方程的解为：

则时间电流函数为：

式（2）和式（3）相加可以得到：

由 a /b=L /R，结合式（4）、（6）可得：

由式（6）、（7）可以看出，估算出 f、g、h，就能计算出待测电感器的电感L及等效总电阻R。由于R=RL+RC+Rm，在实际计算中，待测直流电感直阻RL应从该R中减去电容器金属损耗电阻RC及匹配电阻Rm得到，RC数值可从设备标定中得到，但是为了方便后面的仿真，本文没有考虑损耗及匹配电阻，只考虑综合总电阻。上述方法称为电流响应L-M算法，电压响应L-M算法具体如下。

采用图2所示电路也可求出电感两端的电压与时间的函数为：

估算公式为：

由式（8）、（9）可知，估算出 f、fu、gu、hu，便可计算出待测直流电感器的电感L及待测电感的直阻R。

为了便于比对，本文同时应用差分算法估算电感器电感。该算法基于电感计算公式，用差分近似表示微分，即：

其中，ΔT为采样时间间隔；uk、ik分别为电压与电流的第k个采样值；ik+1为电流的第k+1个采样值。但差分算法无法估算直阻。

需要特别指出的是，电压响应L-M算法及差分算法都要用到电感器等效电路理想电感L两端的电压，该电压可从电感器两端电压，即电压传感器测量的电压 um（t）减去其直阻两端电压而得到，即 uL（t）=um（t）-i（t）RL，其中 i（t）为电流传感器测得的电路电流信号。该方法无法估算直阻，在研究大型电机动态过程时，由于定、转子电阻标幺值相对其漏抗很小，在计算直轴瞬态时间常数时通常忽略定子电阻［13］，然而受容量、尺寸等条件限制，小型电机定、转子电阻值（标幺制）远大于实际大型发电机，计算时则不可忽略［14］。

1.2 L-M算法

L-M算法［15-16］是使用最广泛的非线性最小二乘算法。它利用梯度求最大（小）值，兼具梯度法和牛顿法的优点。当λ很小时，L-M算法步长等于牛顿法步长；当λ很大时，L-M算法步长约等于梯度下降法的步长。

考虑函数关系 x=f（p），其中 p∈Rn×1是参数向量；x∈Rm×1是含有噪声接近于真实值的观测向量。欲使误差x-尽可能小，应求解如下最小化问题：

给定一个初始解pk，考虑f（p）在pk点附近的一阶近似 f（pk+δk）=f（pk）+Jkδk，其中 Jk为 Jacobi矩阵在pk点的值（切映射）。寻找下一个迭代点pk+1=pk+δk，使得：

该最小化问题本质上就是已知Jk和εk，求解超定线性方程 Jkδk=εk。

在Levenberg-Marquardt算法中，每次迭代通过寻找1个合适的阻尼因子λk，求出该最小化问题的解：

计算步骤如下。

步骤1：取初始点p0；设置终止控制常数ε，计算ε0=‖x-f（p0）‖；k=0、λ0=10-3、v=10（也可以是其他大于1的数）。

步骤 2：计算 Jacobi矩阵 Jk，计算构造增量正规方程

步骤3：求解增量正规方程得到δk。

a.如果‖x-f（pk+δk）‖＜εk，则令 pk+1=pk+δk，若‖δk‖＜ε，停止迭代，输出结果；否则令 λk+1=λk/v，转到步骤2。

b.如果‖x-f（pk+δk）‖≥εk，则令 λk+1=vλk，重新解正规方程得到δk，返回步骤1。

2 仿真结果

本文通过改变电感设定值（20～2000 μH）、等效总电阻阻值（0.1～0.7Ω），固定电容组容量（24×4700（μF）=112.8 （mF））及电容充电电压（100 V），计算LCR零输入的电感电流及电感电压理想响应，再加上一定幅值的白噪声以仿真真实的测量值。采用电流响应L-M算法、电压响应L-M算法及差分算法分别仿真计算了直流电感器的电感及直阻（差分算法不能计算直阻），每种算法设定了15个数据点。依据白噪声幅值，仿真中设定加响应最大值的1/10的白噪声及加响应最大值的1/20的白噪声2种情形。

情形1：电感设定值为200 μH，等效总电阻阻值为0.2 Ω，电容组容量为112.8 mF，电容充电电压为100 V；仿真时间约2.1 ms。

图3为情形1下的仿真波形、B样条平滑数据及差分算法直流电感计算结果。图中，曲线1为零输入电压响应加5 V白噪声的仿真波形；曲线2为零输入电流响应加约21 A白噪声的仿真波形；曲线3为平移平均平滑加B样条平滑滤波后的电压响应；曲线4为平移平均平滑加B样条平滑滤波后的电流响应波形；曲线5为应用差分算法后得出的电感波形。由图3可见，在白噪声幅值不是很大（约为响应最大值的1/20）时，平移平均平滑及B样条平滑滤波后的数据与理论响应曲线（图中未画出）是很接近的。

图3 情形1下响应仿真数据、B样条平滑数据及差分算法计算的直流电感Fig.3 Simulative data，B-spline smoothing data and DC inductance calculated by difference algorithm in Case 1

情形2：某一直流电感器电感值为280 μH，等效总电阻阻值约为0.33 Ω，直阻为17 mΩ，电容组容量为47 mF，电容充电电压为100 V；仿真时间为0.25 ms；所用电压、电流传感器的精度均为1%，量程分别为 1500 V、2600 A。

图4为情形2下的响应采样数据、B样条平滑数据及差分算法直流电感器电感计算结果。图中，曲线1为零输入电压响应采样波形；曲线2为零输入电流响应采样波形；曲线3为B样条平滑滤波后的电压响应波形；曲线4为B样条平滑滤波后的电流响应波形；曲线5为不剔除直阻时应用差分算法得出的非理想电感曲线；曲线6为剔除直阻时应用差分算法得出的理想电感曲线。

图4 情形2下响应仿真数据、B样条平滑数据及差分算法计算的直流电感Fig.4 Simulative data，B-spline smoothing data and DC inductance calculated by difference algorithm in Case 2

由图4可见，除起始时刻后约5 μs的过渡过程外，电压响应采样波形数据较为平稳，与平滑数据的最大误差为0.75V，与最大值的相对偏差约为0.75%，远小于1/20；同样地，电流响应采样波形与平滑数据的最大误差为2.63A，与最大值的相对偏差为3.6%，也小于1/20，所以实验采集数据的方差比仿真数据的方差要小，由此得出的电感计算数据应该优于仿真数据，这从图4中的电感计算结果也可看出（波动小于图3中的电感计算结果）。同时还可以看出，不剔除直阻的电感曲线的平均值为289.1 μH，相对误差为3.25%；剔除直阻的理想电感曲线的平均值为286.4 μH，相对误差为2.28%，计算精度有所提高。

为了进一步提高精度，在实际工程中应用电压响应L-M算法计算理想电感的步骤如下（电流响应L-M算法不涉及理想电感电压、差分法的理想电感电压只能使用校准的RL估算）。

步骤1：设置L0及RL0、终止控制常数ε，令k=1。

步骤 2：由公式 uL（k）=um（t）-i（t）RL（k-1）及电压响应L-M算法计算Lk及RLk。

步骤 3：如 εk＜ ε（k≥1），则输出电感量及直阻，结束流程；否则令k=k+1，返回步骤2。

图5 白噪声幅值为响应最大值的1/20时的电感相对误差Fig.5 Relative error when white noise amplitude is 1/20 of maximum response

图6 白噪声幅值为响应最大值的1/10时的电感相对误差Fig.6 Relative error when white noise amplitude is 1/10 of maximum response

图5、6分别为加幅值为响应最大值的1/20和1/10的白噪声时，电感相对误差仿真曲线。从单幅图来看，应用电压响应L-M算法的相对误差最大，差分算法的相对误差次之，电流响应L-M算法的相对误差最小，特别是电流响应L-M算法相对误差基本小于1%，大部分数据点的相对误差小于0.1%，符合实际设计要求的技术指标。对比图5、6可以看出，电流响应L-M算法抗干扰的能力明显优于其他2种方法。

图7、8分别列出加幅值为响应最大值的1/20和1/10的白噪声时，电感对应等效总电阻相对误差仿真曲线。由图7、8可见，电流响应L-M算法的相对误差小于2%，大部分数据点的相对误差小于1%，性能最优；电流响应L-M算法抗干扰的能力明显优于电压响应L-M算法，而差分算法则无法估算出等效总电阻。

图7 白噪声幅值为响应最大值的1/20时的等效总电阻及其相对误差Fig.7 Equivalent total resistance and corresponding relative error when white noise amplitude is 1/20 of maximum response

图8 白噪声幅值为响应最大值的1/10时的等效总电阻及其相对误差Fig.8 Equivalent total resistance and corresponding relative error when white noise amplitude is 1/10 of maximum response

3 结论

本文采用基于LCR电路零输入电流响应的L-M算法估算直流电感器的电感及待测电感的直阻R，计算相对误差在1%以内，小于电压响应L-M法及差分算法的相对误差；且本文方法只需高压差分探头、大电流柔性探头采集的电感端电压信号及回路电流信号即可，虽然计算时间较长（采用通用计算机时计算时间约为1 min，此时间与计算机主频有关），但在用户所能容忍的范围内。

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