“珠玑妙算”游戏中的条件推理

胡艳

摘 要 “珠玑妙算”是经典益智游戏，游戏过程的顺利进行在很大程度上依赖于条件推理的运用。本文通过用excel公式计算模拟和条件推理的四种形式（肯定前件（PM）、否定后件（MT）、肯定后件（AC）和否定前件（DA）），简述了条件推理如何在该游戏中发挥作用。

关键词 条件推理 否定后件 否定前件

中图分类号：TP301.6 文献标识码：A

“珠玑妙算”游戏的英文名称为“Mastermind”， 1970年以色列邮政和电信专家莫迪卡发明了这一推理棋盘游戏（Riccardo，2011），并在1972年得到了商业化推广。正如其名，玩这个游戏需要充分调动大脑的基础认知资源，至今在欧美国家中仍是经典的棋盘益智游戏。

游戏在两个玩家之间进行，其中一位为密码设置者，另一位为密码破解者。密码设置者从六种不同颜色的带插销彩色珠子中选择颜色可重复的四个珠子，然后将它们用销子固定在棋盘上排列成一组有顺序的颜色密码放在隐藏的保留区。随后，密码破解者进行猜测，并把猜测的结果按顺序摆在棋盘上，而且每一次猜测都会得到密码设置者的即时反馈。反馈模式由一组黑色和白色带插销小珠子组成，每个黑色小珠子代表破解者猜中了一个珠子的颜色而且位置正确；每个白色小珠子代表破解者猜中了一个珠子的颜色但位置不正确。当破解者所猜测的颜色组合与密码完全吻合，即所有颜色和位置均正确时，他便赢了该局游戏。最多可进行12次猜测，假如12次都没有猜对，则游戏结束。游戏的计分以尝试的猜测次数越少分数越高，对时间没有特别的要求。

条件推理可以说是根据条件连接词“如果”得出推断的过程。例如：

前提：如果P，那么Q。

前提：非Q。

结论：非P。

前面得出的结论，在给出的前提下是必然会出现的，也就是说这样的结论是必然有效的。这一推理过程称为否定后件式推理（MT）。以此类似还有否定前件式（DA），肯定后件式（AC）和肯定前件式（MP）推理过程。其中肯定前件式（MP）和否定后件式（MT）推理为必然有效的推理。而否定前件（DA）和肯定后件（AC）式推理二者都并不必然有效。

一直以来，对“珠玑妙算”游戏的研究都集中在如何应用策略上（Best，1990），虽然从游戏开发出来以后人们就视其为逻辑推理游戏，但是很少有研究者注意到“珠玑妙算”游戏中的条件推理过程。而其中的条件推理过程可以通过excel的条件函数公式简单地模拟出来。因为需要选择四个有序排列的彩珠，每一个序号都会有六种可能，所以密码的可能性将会是6 x 6 x 6 x 6=1296种。模拟思路为首先穷尽所有1296种可能的密码组合，将每步尝试的猜测同这1296种可能的密码组合一一对比，得到一组反馈，而这组反馈中与密码设置者给出的反馈匹配的那些可能密码组合极有可能就是正确答案。随着尝试的进行，可能密码组合范围逐渐缩小，直至剩下正确的那个。沿着这一思路，只需要应用两类条件函数即可达到目的。这两类函数如下：

（1）IF（F3=A3，1，IF（F3=B3，0，IF（F3=C3，0，IF（F3=D3，0，2））））；

（2）COUNTIF（J3：M3，1）。

显然，上述模拟只运用了肯定前件（MP）和否定后件（MT）式推理，从计算机模拟方面印证了条件推理对“珠玑妙算”游戏的破解过程至关重要。然而人类的思维过程跟计算机有所差别，在游戏过程中不太可能像用excel那样穷举所有可能性，这需要超强的记忆力。

虽然如此，人们仍然能在有限的工作记忆范围内进行条件推理。在“珠玑妙算”游戏中，人们经常应用条件推理进行推断。如下面所示的游戏片段：

位置 反馈

1 2 3 4

猜测1： 蓝 绿 白 红 1黑1白

猜测2： 蓝 橙 红 黄 0黑2白

密码破解者会这样进行推理：在第一个猜测中得到了一个黑色的反馈，如果黑色反馈代表的是蓝珠子，在第二个猜测中继续保持蓝色珠子不动，那么还会得到一个黑色的反馈。但是第二个猜测得到的反馈没有黑色，表示黑色并是蓝色珠子的反馈。显然，这里运用了否定后件式推理（MT），也就是：

前提：如果蓝，那么一个黑。

前提：非黑。

结论：非蓝。

显然，条件推理能够帮助破解者在游戏中排除某些假设。为了验证条件推理在游戏中的具体作用，约翰·贝斯特（Best，2001）通过实验发现否定后件式推理（MT）可以用于确定密码的结构类型，也就是确定是否有颜色在密码中重复，因为密码可能存在五种结构类型[1 1 1 1]、[1 1 2 2]、[1 2 2 2]、[1 2 3 4]、[1 2 3 3]。而当在否定后件式（MT）推理上犯错的话，极有可能导致要花更多的猜测步骤才能得到正确答案。贝斯特的实验还表明，在使用未必一定有效的推理方式，否定前件（DA）和肯定后件（AC）时，只有在密码中的颜色各不相同时才会导致在游戏中失败。

参考文献

[1] Riccardo Focardi & Flaminia L.Luccio.Guessing Bank PINs by Winning a Mastermind Game[J].Theory Comput Syst 2012.

[2] Best，J.B.Knowledge acquisition and strategic action in “Mastermind” problems[J].Memory & Cognition，1990.

[3] Best，J.B.Conditional reasoning processes in a logical deduction game[J].Thinking & Reasoning，2001.