包络理论在一类初值问题中的应用

张艳妮

(吉林建筑大学城建学院，吉林长春 130112)



包络理论在一类初值问题中的应用

张艳妮

(吉林建筑大学城建学院，吉林长春 130112)

[摘要]本文利用包络理论研究一类一阶常微分方程初值问题，得到了一致有效的渐近展开式，结果表明利用这种方法和其它研究所得结论是一致的。

[关键词]包络理论；奇异摄动；包络方程

考虑如下一阶常微分方程初值问题

(1)

其中，ε>0是小参数，A是可对角化的复矩阵，F是关于y的向量值多项式函数.文献[2]利用重正化群方法，以及伸缩坐标法和多重尺度法给出了上述奇摄动问题的一致有效的渐近解，本文利用包络理论[1]研究该摄动问题的渐近解.

不失一般性，设A已是可对形式，即A=diag(λ1，λ2，…λn).由于F是关于y的向量值多项式函数，可将F(y)写为：

(2)

设(1)的解有如下展开式：

yε(t)=y0+εy1+ε2y2+….

(3)

将(3)代入(1)，并比较等式两端ε0和ε1的系数，得到

(4)

(5)

解(4)得到

y0(t)=e-tAu(t0).

(6)

其中，u(t0)是常向量，由初值条件确定.将(6)代入(5)，利用常数变易公式，得到

其中，v(t0)是常向量.

由此，初值问题(1)的解的一阶近似为

(7)

不失一般性，可取(7)中的v(t0)=0，因此

(8)

注意到(8)中含有长期项，为了得到(1)的一致有效解，首先将(8)中长期项分离出来.

于是，展开式(8)化为

(9)

显然，R(u0)(t-t0)是长期项.

由(9)可知，y(t)是方程(1)的直到O(ε2)的解，但是只在t=t0附近有效，下面用包络理论消去(9)中的长期项.注意到y(t)可看作是以t0为参数的函数，从而得到一族解曲线{Ct0}t0.由文献[1]，首先来构建曲线族{Ct0}t0的包络曲线E的函数yE(t)，由于曲线族{Ct0}t0的包络曲线E与t=t0附近的每一个局部解都是相切的，因此，包络函数yE(t)与y(t)重合，即yE(t)=y(t).

(10)

由包络方程

则

(11)

式(11)实际上就是文献[2]中的重正化群方程.假设u(t0)是(11)满足初值条件u(t0)=u0的解，并令t0=t，即得到初值问题(1)的一阶一致有效的渐近展开式

通过对比发现，本文所得到的结果与文献[2]是一致的.

[参考文献]

[1]张艳妮.利用经典包络理论求曲线和曲面的包络[J].山东农业工程学院学报，2015(7):141,143.

[2]周冉,张艳妮,黄京男.一阶常微分方程组的奇异摄动问题[J].吉林大学学报:理学版，2009(5):941-944.

The Envelope Theory Applied in a Class of Initial Value Problems

ZHANG Yan-ni

(Jilin Architectural University Urban Construction College, Changchun Jilin 130112, China)

Abstract:This paper presents an uniformly valid asymptotic expansion for a class of initial value problems via the envelope theory. And in contrast to other approaches, the results of our method are consistant.

Key words:envelope theory; singular perturbation; envelope equations

[中图分类号]O175

[文献标识码]A

[文章编号]2095-7602(2016)04-0015-02

[作者简介]张艳妮(1982-)，女，助教，硕士，从事常微分方程研究。

[收稿日期]2016-01-29