具有随机扰动的三种群系统的正解

李海红，李海霞，吕玉姝

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林长春 130024；2.长春光华学院商学院，吉林长春 130024；

3.空军航空大学基础部，吉林长春 130024)



具有随机扰动的三种群系统的正解

李海红1，李海霞2，吕玉姝3

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林长春 130024；2.长春光华学院商学院，吉林长春 130024；

3.空军航空大学基础部，吉林长春 130024)

[摘要]本文旨在研究三种群系统受白噪声扰动问题，利用构造Lyapunov函数的方法，证明该类系统正解的存在唯一性.

[关键词]Lyapunov函数；伊藤公式；三种群系统；存在唯一性

捕食与被捕食[1]现象在自然界中广泛存在，也是构成整个生物群落[2]的最基本关系之一，而食物链就是它构成的一种种群关系.食物链是生态系统中贮存于有机物中的化学能在生态系统中层层传导的过程，它是英国动物学家埃尔顿(C.S.Eiton)于1927年首次提出的.

我们研究的模型的特点为：第三个物种是第二个物种的捕食者，第二个捕食者是第一个物种的捕食者.受扰动的三种群的食物链系统可以用下式来表示：

(1)

这里我们主要采用类似文献[3]中的证明方法得到系统(1)全局正解的存在唯一性.

P{τk≤T}≥ε.

(2)

V(x1，x2，x3)=b32[b21(x1-1-logx1)+b12(x2-1-logx2)]+b23b12(x3-1-logx3).

显然当u>0时，u-1-logu≥0，由此可知函数V是非负的.由伊藤公式可得

所有参与研究的对象均进行CT、MRI以及联合诊断，确诊后1～2周内实施手术治疗，对照分析影像学诊断结果与手术病理检查结果。

dV=LVdt+b32b21σ1(x1-1)dB1(t)+b32b12σ2(x2-1)dB2(t)+b23b12σ3(x3-1)dB3(t).

其中

LV=b32b21(x1-1)(a1-b11x1(t)-b12x2(t))+b32b12(x2-1)(-a2+b21x1(t)-b22x2(t)-b23x2(t))

对上式两端取期望可得

(3)

此处以及下文中，E(f)表示f的数学期望.

V(x(τk，ω))≥k-1-log(k)∧k-1-1+log(k).

于是，由(3)式可得

其中，1Ωk表示Ωk的特征函数.

令k→∞则产生矛盾.因此，τ∞=∞=a.s.

注1定理1表明当有随机扰动的三种群系统(1)存在唯一的全局正解.不管白噪声的强度σi(i=1,2,3)有多大，具有随机扰动的三种群系统(1)也存在唯一的全局正解.

[参考文献]

[1]高芳.带有食饵避难的Leslie-Gower捕食者—食饵扩散系统的稳定性及最优税收[J].东北师大学报,2014(2):1-8.

[2]B.S.Goh.Global stability in many species system[J].Amer.Nat,1997(111):135-143.

[3]D.Q.Jiang,C.Y.Ji,X.Y.Li.Analysis of autonomous Lotka-Volterra competition systems with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl.,2012(390):582-595.

[4]D.Q.Jiang,B.X.Zhang.Existence uniqueness and global attractivity of positive solutions and MLE of the parametres to the logistic equation with random perturbation[J].Science in China,2007(7):977-986.

[5]A.Gray,D.Greenhalgh,Hu.L.A stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM,2011(71):876-902.

The Positive Solution of a Three Species System with Random Perturbation

LI Hai-hong1,LI Hai-xia2,LV Yu-shu3

(1.Department of Basic Science, Jilin Jianzhu University, Changchun Jilin 130024,China;2.School of Business, Changchun Guanghua University,Changchun Jilin 130024,China;3.Basic Department, Aviation University of Air Force, Changchun Jilin 130024,China)

Abstract:In this paper, we analyze a three species system with stochastic disturbation, by the constructing Lyapunov function method, the unique positive solution of the system is proved.

Key words:Lyapunov function; Ito formula; three species system; existence and uniqueness

[中图分类号]O175

[文献标识码]A

[文章编号]2095-7602(2016)04-0001-03

[作者简介]李海红(1983- )，女，讲师，博士，从事微分方程研究。

[收稿日期]2016-02-13