不识图形真面目只缘身在此图中

☉浙江省宁波市北仑中学毛浙东

不识图形真面目只缘身在此图中

☉浙江省宁波市北仑中学毛浙东

书有书胆，戏有戏核，数学老师给学生讲题，好比是说书唱戏，也要牢牢把握题目的核心——题眼.但是很多数学问题都被“包装”过，学生往往会被问题的表象所迷惑，无法看清其本来面目.比如在学习立体几何时，学生就常有“不识图形真面目”的困惑.笔者现以自己的一堂立体几何复习课的教学设计为例，来谈谈寻找题眼的常见方法，希望能抛砖引玉.

一、教学设计

1.在图形翻折中寻找题眼

图1

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

分析：容易判断选项A是错误的.对于选项B，我们发现直线AB与直线CD是异面直线，要判断它们在运动时是否会垂直是比较困难的，但注意到直线CD和直线AB是平行的，因此B选项可被翻译成：“如图2，把直角△ABD绕着BD翻折成△A′BD，请判断是否存在某个位置，使直线A′B与直线AB垂直？”在这个翻折过程中，我们发现线段AB“扫”出了一个圆锥的侧面，如图3所示.

图2

显然直线AB与直线A′B是这个圆锥的两条母线，在直角三角形ABD中，AB=1，AD=，故∠ABD＞45°，因此圆锥的顶角∠ABE＞90°，故在运动时，直线AB与直线AB′是有可能垂直的，故选项B正确.

对于选项C，我们发现由于此时新圆锥的顶角∠ADE＜90°，如图4所示，故在运动时，直线AD与直线A′D不可能垂直，则选项C错误.

容易判断选项D也错误，因此本题答案为B.

图4

点评：此题解法颇多，但笔者认为最优美，也是最本质的解法就是寻找此题的“题眼”.去掉包装后，我们发现本题的的翻折问题，看清了这一点，一切都变得明朗起来了.

2.在图形旋转中寻找题眼

图6

图5

分析：本题是个立体图形的旋转问题，如图6，我们发现当四面体旋转时，线段AB的长度保持不变，射影面积的变化取决于线段C1D1长度的变化，取线段AB的中点M，于是原题就退化成下题：在直角△CDM中，CM=1，，当△CDM绕着点M在垂直于α的平面内旋转时，△CDM在平面α内的射影线段长度的取值范围是多少？

图7

如图7，过M作直线CD的垂线MN，垂足为N，当△CDM旋转时，容易发现：当CD与平面α平行时，射影线长度达到最大值影线长度达到最小射影线C1D1长度的取值此原四面体的射影面积为S=

点评：本题将立体问题平面化后，我们找到了这道题的题眼，其实质仍是一个棱长分别为1，的直角三角形的旋转问题，正是这个关键三角形的变化，决定了整个四面体在平面α内射影面积的变化.

3.在图形滑动中寻找题眼

例3已知直线l⊥α，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，若该正方体在空间符合下列条件：（1）A∈l，（2）C∈α，则O，C1两点间距离的最大值为_______.

图8

图9

分析：在正方体运动时，我们发现A、C两个点在滑动，它们是两个关键点，而结论要求O，C1两点间的距离，因此O和C1也是关键点，而其他的点则无关紧要，因此本题可以退化成下题：已知直线l⊥α，在直角△ACC1中，CC1=1，AC=2%■，AC1=3%■，若该直角三角形在空间符合下列条件：（1）A∈l，（2）C∈α，则O，C1两点间距离的最大值为多少？

如图11，我们取线段AC的中点M，显然线段OM的长度保持不变，始终为AC长的一半（直角三角形斜边的中线为斜边长的一半），会变.由勾股定理可算得其长度为示.回到原题，我们知道所求距离

图10

图11

图12

点评：本题的题眼是一个棱长分别为1，2%■，3%■的直角三角形的滑动问题，我们之所以一开始难以看清其庐山真面目，就是因为它藏身于正方体中，褪去正方体这件外衣，答案自然就水落石出了.

二、几点思考

1.三道例题，一个模型

心理学研究表明，教师课堂上讲的题目跳跃度越大，特别是所讲的几个例题之间毫无关联，学生越容易产生疲劳，学习效率就会降低.反之，教师若给学生呈现的题目环环相扣，在学生的最近发展区对知识进行延伸，学生听起来就轻松，并理解得更深刻.众所周知，知识在我们大脑的建构是系统化的，而不系统的知识是不牢固的.

在本课中，教师给出了三道例题，系统地把“翻折、旋转、滑动”三种题型呈现在学生面前，而且巧合的是，三道题殊途同归，最终都化归为同一个模型，即一个棱长分别为1，的直角三角形的运动问题.整堂课下来，学生听得轻松，偶尔还发出惊叹声，但细细回味，又发现巧合中蕴藏着必然，不禁露出会心一笑.

2.三道例题，一种方法

本堂课教师给学生呈现了三道不同的题目，但是传授的方法却是如出一辙——寻找题眼.在立体几何问题中，题目的关键信息往往会藏身于复杂的图形中，如何将它们提炼出来就成为解题的关键.其实，无论是翻折、旋转还是滑动问题，寻找题眼最有效的方式就是努力寻找运动中的关键图形，从而使问题成功获解.

当然解决本课中的三道例题还有其他的思路，但教师没有将这些方法选入教学设计中，这样“罢黜百家、独尊儒术”的做法既是为了突出重点，也是为了让学生学会更本质地看问题.我们不排斥学生在课堂上用其他方法解决这些问题，但是教师应当鲜明地亮出自己的观点，因为能用同一种方法解决不同问题的方法，才能叫做通性通法.

3.三道例题，一个目标

张奠宙教授曾说：我们应启发学生欣赏数学的真、善、美.教师给学生传授正确的知识，就是求真；教给学生行之有效的解题的好方法，那是求善；带着学生一起欣赏数学，则是求美.在本课中，我们看到了数学思维的简洁美，图形本身的对称美，数学形式的统一美，表征和内涵的和谐美.教师不但自身要学会发现数学美，还有学会传播数学美.因为我们有一个共同的目标，让我们的学生也学会欣赏数学，并快乐地研究数学.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.教育测量学［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.张奠宙.数学教育随想集［M］.上海：华东师范大学出版社，2013.

4.毛浙东.谈谈高三复习课例题的选择——解析一堂圆锥曲线最值的复习课［J］.中学数学（上），2009（12）.

5.毛浙东.巧用平面解析法破解立体几何题［J］.中学数学研究，2011（3）.

6.毛浙东.它山之石，可以攻玉——谈数学课堂融入故事的艺术［J］.中学数学（上），2015（6）.G