一次类比思想使用的复习教学设计

☉江苏如皋市第一中学夏隽

一次类比思想使用的复习教学设计

☉江苏如皋市第一中学夏隽

众所周知，数学思想教学是中学数学中最为高层次的意识形态的教学，从基本知识、基本技能到知识之间的整合教学，数学教学一直呈现一种螺旋式上升的过程，当知识间整合教学完成之后，教学又进入一种全新的上升状态，即思想方法教学.谈起数学思想方法，学生从初中开始就接触过很多，比如：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等，这些思想方法都很重要，帮助学生在不同问题间游刃有余、轻松解决.笔者请学生数过他们了解的一些数学思想方法，学生可以说出很多思想方法的名称，除上述之外还有特殊和一般的思想、转化与化归的思想、类比思想等，笔者又问这些思想方法间有什么差别？学生一脸茫然.这说明学生并没有真正地体会数学思想的重要作用，他们会将方x+b仅有一解时b的范围用画图的方式求出来，就认为已经掌握了数形结合思想.

其实，思想方法本身也有不同的差别，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等可以称之为具备知识基础的知识型思想方法，比如：类比思想、转化与化归思想等明显是置身于意识形态中的更为高端的思想方法，其往往除具备知识外，还极大地引领、开拓学生的思维，这就与课程标准对于思想方法渗透于数学教学的描述不谋而合.从现阶段中学数学教学来看，类比思想是启发学生思维发展、延伸，帮助其培养创新性思维较好的方法.笔者以解析几何中圆与椭圆的相似问题做一番设计，从圆的角度出发，来探索如何利用类比思想解决椭圆问题，以笔者之砖引读者之玉.

大家知道，圆和椭圆有着很多类似的性质，比如：类似的形态、直线与其位置关系仅有三种，切线的方程极为相似等，这种相似是偶然的吗？笔者和大家一起来探索这样的问题.

设计一、类比伸缩的认识

先介绍下纵向伸缩变换：将圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的倍，其表达式变为新的曲线，即椭圆= 1（a＞b＞0），考虑到焦点在y轴的情况类似，故本文只研究焦点在x轴的情形.记：已知圆上点P（x，y）变换成点P′（x′，y′），纵向变换然这是一个一一映射（可逆的），且由于点P、P′的横坐标相等，因此PP′的连线必垂直x轴.同理：有横向伸缩变换.

设计二、类比伸缩的性质

先给出几个类比伸缩的性质：

性质1：记一个变换为f：其将一条直线变换为另一条直线，则变换后直线斜率为原来直线斜率的倍.

说明：由此可知，若两直线原来位置关系为平行，则变换后两直线平行性保持不变.

性质2：记一个变换为f：将线段AB分为比值λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′.

说明：这个容易证明，在伸缩变换中这个比值是不变的，可以利用定比分点公式证明，此处简化.

性质3：一个面积为S的三角形经f变换后的三角形面积S′=S.

简证：设△A1A2A3三个顶点的坐标分别为Ai（xi，yi），则xi=x′i，yi=y′i（i=1，2，3）.

说明：对于三角形成立的上述性质，在多边形中也能成立，即可以将多边形分解为多个三角形，即变换前

设计三、类比伸缩的运用

图1

解析：我们可以想象，若本题的背景是圆，则显然有KAP·KBP=-1，因此可以肯定经过了伸缩变换，在椭圆背景定值.如图1，把纵坐标变换为原来椭圆变成半径为a的圆，由性质1得定值.（本性质可以在椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些）

问题2：（2009年安徽高考数学理科第20题）点P（x0， y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ直线l与直线垂直，O为坐标原2点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.求证：点P

分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程.由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+ y0y=a2，可知利用伸缩变换得到直线l1：=1，即为过点P的椭圆切线.

证明：把纵坐标变换为原来的a倍，则椭圆变成半b径为a的圆，则过圆上点Q（X0，Y0）（Q为P的一一对应点）的切线方程为X0x+Y0y=a2，由伸缩变换因此，l1就是椭圆在点P的切线方程，结论成立.

说明：大家知道，过圆上一点作的切线方程与过圆外一点引两切线，两切点连线的方程都是同一结论，而将背景改变为椭圆后，其实椭圆中也有类似的结论.对于椭圆中相关切线的证明，可以利用类比思想和伸缩变换，这种方式非常有助于学生从不同的视角看待问题，其并没有运用一味的运算方式，而是将圆中现成的结论通过伸缩变换直接转换成椭圆的切线结论，是既高效又简捷的方式，还充满了创新的精神.

图2

记∠AiOAi+1=θi（1≤i≤n-1），式为琴生不等式，因为f（θ）= sinθ在（0，π）上为凸函数，由琴声不等等号成立，由性质3知，椭圆的内接n边形的面为椭圆内接n边形面积的最大值.

对圆和椭圆之间的类比问题解决，笔者初步做了一番上述的探索.类比思想在其中起到了很大的作用，很多以前看似较为困难的问题在类比思想的运用下，简化了很多，也给我们解决椭圆中类似的问题带来了全新的解决思路.笔者这一课的教学设计对于思维活跃的学生有着比较好的提高，因此，在教学中若能有效结合常规解决方案和类比思想下的伸缩变换，有助于这些优秀学生更好地开拓新的问题解决视角.

圆锥曲线本身就是一个统一体，为了方便中学生学习，我们人为地将其分成了圆、椭圆、双曲线、抛物线四部分.圆和椭圆有着极为相似的性质和特点，笔者建议在学习椭圆过程中，恰如其分地引入圆中的一些性质、特点，利用圆中问题的解决进而伸缩变换解决椭圆中类似的问题，既简化了问题解决的过程，又开拓了学生问题解决的思路，增加了学生的视野，也有利于学生创新精神的培养.

1.张琴竽.活用伸缩变换巧解椭圆问题［J］.中国数学教育（高中版），2009（10）.

2.刘瑞美.对2009年高考中一道圆锥曲线问题的探究［J］.中学数学杂志（高中版），2009（6）.F