创设问题情境构建数学模型

李俊杰

【摘 要】小学数学建模一般要经过模型准备、模型假设与验证、确立模型、应用模型、模型拓展五个环节。在实施这五个环节的过程中，应首先考虑到小学生还是以形象思维为主，因此应设计以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以直观演示，动手操作等数学活动为形式，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，提取其中的数学模型，并能解决生活中的一些简单实际问题，让学生从中感悟到应用数学模型解题所带来的便利。

【关键词】问题情境；数学模型；建模

《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展。数学建模，就是建立数学模型的过程，包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展数学模型的过程。数学建模对学生问题意识、应用能力和创造能力的培养具有积极的意义。

一、模型准备

《数学课程标准》指出：“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会，使他们有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。”这一环节可通过设计生活情境引入，从而唤起学生的知识储备，激发学生的学习兴趣。模型准备阶段，要通过呈现问题引发学生的思考，让学生从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题。

如教学人教版四年级下册《数学广角——植树问题》时，笔者先以“手”来引入：5个手指头，几个间隔？4个手指头几个间隔？3个手指头呢？学生发现了间隔数比手指头数少1。活动中学生一方面能感知“间隔”的含义，另一方面能初步感受植树问题中“两端植树”的特点和数学模型。

接着出示校园情境图，问：“要在校园里全长100米的小路一边，每隔5米栽1棵树。如果两端都要栽树，一共要栽多少棵树？”模型准备阶段，应尽可能为学生提供完整、真实的问题背景，使学生产生学习的需要。

二、模型假设与验证

学生可能已经针对上一环节中的问题特点做出自己的分析并对建模目的做出合理的假设，但教师不应过早地对学生的假设进行点评，而应重点关注假设背后的思想，关注学生是否调动原有的知识经验，并引导学生在操作、证明、交流、质疑中用事实验证自己的假设，或纠正自己的错误假设。以前文提到的两端植树的问题为例，如果学生假设“总长÷间隔长=棵数（间隔数）”，教师就应引导学生质疑：“总长÷间隔长=棵数”到底对不对？怎样证明这一假设是正确的？然后再引导学生用自己的方法验证假设是否正确。

如可把总长100米改为20米，采用化繁为简的策略去研究不同间隔长度下，棵数和间隔数有什么关系：

也可画出植树的情境图，化抽象为直观，采用数形结合的策略。

通过验证活动，学生就能发现，“总长÷间隔长=棵数（间隔数）”的假设是错误的，正确的模型应该是“植树棵数=间隔数+1”。在充分理解了题意之后，让学生凭借生活经验和知识经验尝试解决，学生在解答的过程中出现了几种不同的猜想，到底哪种猜想对呢？这里渗透了“猜想——验证”的思考方法。

三、确立模型

引导学生用分析、比较、综合、猜想、验证、概括等思维方法自主构建数学模型。数学建模的目的不仅仅是获得数学结论，更重要的是在建模的过程中促进知识的内化、思想的升华发展。如得出“植树棵数=间隔数+1”后，教师可引导学生讨论：“如果小路总长100米，每隔4米种1棵树。共有多少个间隔？可植树多少棵？”“如果间隔数是50个，要栽树多少棵？如果间隔数是n个，可以植树多少棵？”“如果学校的这段小路长度改变了，其他条件不变，‘植树棵数=间隔数+1的规律还能成立吗？为什么植树数不是等于间隔数而是等于‘间隔数+1呢？”这样，引导学生解释模型，能促进学生进一步理解模型“植树棵数=间隔数+1”。

丰富充实的验证过程，使学生经历了在操作中思考、在观察中比较、在交流中评价概括。在这个过程中，充分利用直观手段揭示植树问题中的棵树和间隔数之间内在的对应关系，帮助学生发现规律、建立数学模型，有利于学生从整体上理解、把握解决植树问题的思想方法。

四、应用模型

引导学生利用抽象出的模型解决实际问题。如建立“植树棵数=间隔数+1”的模型后，可让学生完成类似以下的练习：“5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站之间的距离都是1千米，一共有几个车站？”植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，加强了模型应用功能的练习，本课练习有以下三个层次：（1）应用模型解决简单的实际问题。（2）以图片的形式让孩子们了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。（3）综合练习，通过图片关注题目中的隐含条件，应用模型放手让学生去探索，使学生充分感受生活中处处存在着数学问题。

通过本环节的学习，让学生加深理解所建立的数学模型，在解决问题的过程中，使学生进一步体会现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，感悟数学建模的重要意义，体会数学应用的价值。

五、模型拓展

对模型进行适度的生成、拓展与重塑，派生出新的数学模型。如得出两端都栽树的模型“植树棵数=间隔数+1”后，教师可引导学生探索“只栽一端”和“两端都不栽”时的植树模型，并由“两端都栽”的模型“植树棵数=间隔数+1”派生出“只栽一端”的模型“植树棵数=间隔数”和“两端都不栽”的模型“植树的棵数=间隔数-1”。

在数学建模活动中，通过问题情境的创设，密切了数学与现实生活的联系。问题情境贯穿上述五个环节，对数学建模活动的开展起了很大的作用：

第一，数学建模活动为学生提供了丰富的贴近生活实际的活动素材，把数学与学生的生活实际联系起来，学生从已有生活经验出发，用数学的眼光观察生活，经历从生活原型到数学模型的建构过程，用数学模型解决实际问题。在这个建模活动中，学生从具体的现实问题中抽象出数学结构，经历了知识发生、发展的过程。学生正从知识的“接受者”向“发现者”转变，真正成为学习的主人。

第二，有利于帮助学生学会数学思考。在建模过程中，学生要不断思考，不断对各种生活中的原始素材进行加工、转换，同时要不断激活原有的知识经验，对当前问题做出分析、推论、综合、概括，形成假设，并对假设进行验证，从而建构自己的知识经验，形成自己的见解，建立一定的模型，这一过程为数学思维训练提供了理想的途径。

第三，通过问题情境的创设，激发学生主动学习的积极性。数学建模活动为学生提供了充满探索与交流、猜测与验证的活动素材与平台，能促进学生思维的发展、学习积极性和主动性的提升。

总之，创设一个良好的数学问题情境，能集中学生的注意力，诱发学生思维的积极性，引起学生更多的联想，调动学生已有的知识、经验和感受，让学生真正经历实践、探索、归纳、猜想、论证等活动。利用创设的情境，能更有效地帮助学生构建数学模型，然后再把所构建的模型应用到实际，解决生活问题。

参考文献

[1]叶柱.数学教学新视界探真[M].杭州：浙江大学出版社，2005.

[2]杨刚，卢江.小学数学课程改革的研究与实践[M].北京：人民教育出版社，2007.