从公理化视角看待自然数及其算术运算

曾志斌

[摘 要]重温了意大利数学家皮亚诺的自然数公理系统，认真研习并解读了自然数公理化的定义，并在自然数基本定义和公理的基础上，运用数学归纳法，对自然数加法和乘法的基本运算进行了例证，从而探讨皮亚诺自然数公理系统在高中数学教学中的意义.

[关键词]自然数 算术运算 公理化

[中图分类号] G633.6[文献标识码] A[文章编号] 16746058（2016）140003

人们从最基础的学习开始，直至高中及以后的学习中，都一直在接触数学中自然数的概念及其算术运算.然而，为什么1+1=2，1+2=3，…；1×2=2，2×2=4；…它们是源自于纯粹的实际生产生活的经验，还是建立在数学公理的基础上推演获得的结论呢？

一、自然数及其算术运算的产生

从人类具有原始的识别事物多寡的“数觉”，到抽象的“数”的概念的形成，记数经历了一个漫长的过程.当人类的“数觉”越来越强烈和明确时，记数便伴随着计数的发展而发展起来.从手指记数、石子记数、结绳记数和刻痕记数，记数经历了数万年的发展，终于出现了书写记数和相应的记数系统.此时的记数当然是以“1”为基本单位的.这就是最早的自然数的产生.而后直至18世纪，数学家们都谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图.在近代康托集合论产生之后，数学家们开始用集合论方法来定义自然数中的0，1，2，3…自然数的算术运算伴随着自然数的产生和人们最原始的实践经验而产生，人们对其法则和结果确信无疑.

二、自然数公理化系统建立的背景

数学的发展并非如原始的感受般那么自然.“数学的发展绝不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机……”随着时代的发展，数学科学产生了许多令人们难以接受的概念和结论.比如，无理数2的出现，动摇了古希腊人对世界“万物皆数”的信仰；无穷小量理解的混乱与定义的不严格，使得以其作为根基的微积分理论始终存在瑕疵；

罗素悖论使得当时数学家们建立在康托集合论上的许多研究成果都面临了基础崩溃的尴尬.人们不得不重新考虑自然数的定义问题.特别是非欧几何的出现，使人们不得不重新考虑自然数算术系统的相容性问题.19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因等人先后在欧几里得空间中给出了罗巴切夫斯基几何的片段的模型，尤其是法国数学家庞加莱对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，使罗氏几何具有对欧氏几何的相对相容性.通过解析法，可以建立欧几里得几何与实数系模型的对应关系，而通过扩充自然数系，可以得到实数系.于是，自然数算术系统是否相容成为数学上层建筑是否稳固的关键，也成为数学家们迫切需要解决的问题.

而此时产生于实践经验的自然数还没有准确的数学定义，用康托集合论给出的定义方法，又因为罗素悖论而受到置疑.自然数的一切性质和算术运算规律被实践所验证，但无法进行逻辑推演，无法证明其是否绝对相容.在这样的背景下，意大利数学家皮亚诺撇开集合论的观点，对已有的、实践中产生的自然数的基本特点和性质进行了高度抽象的归纳.1889年，他在《算术原理新方法》中完成了对自然数的公理化处理，给出关于自然数的五条公理，创立了自然数的公理化定义.

三、自然数公理解读及算术运算性质的举例证明

自然数的五条公理用非形式化的方法叙述为：

（1）0是自然数；

（2）每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a′，a′也是自然数；

（3）0不是任何自然数的后继；

（4）如果b，c的后继都是a，则b=c；

（5）任何关于自然数的命题，如果对0真，并且如果对n真，则对n′也真，那么该命题对所有自然数都真.

下面笔者对这五条公理作一个简单的分析和解释.前两个公理归纳了从“无”到“有”和如何延伸的原始经验，给出了起始元素和后继定义，可是要完整描述自然数，这些还远远不够.例如，可以构造数字系统“1，0，1，0，…”来满足公理（1）（2）的描述，其中，0的后继数为1，1的后继数为0.它只包含了两个数，显然不符合人们对自然数系统的期望.于是公理（3）对自然数系统的结构进行了限制，不允许0作为任何自然数的后继.但是，前三条定理仍会产生新的问题.例如，可以构造数字系统“0，1，2，2，…”其中，2的后继也是2.在这样的构造例子中，看起来第三条定理只给我们的自然数系统多带来了一个数字.为了杜绝此类漏洞，追求更严密的定义，皮亚诺引入了公理（4），使得不同数的后继必不同，避免了上例中1和2的后继都为2的可能.最后，为了排除一些非自然数的数（如0.5），也为了满足制订运算规则的需要，皮亚诺引入了公理（5），也就是归纳公理.于是，数学归纳法的正确性得到了保证.依据以上五条公理定义的自然数系的基础，就可以定义自然数的基本算术运算.

首先，定义自然数加法是满足下列两条规则的二元运算：

（1）m∈N，0+m=m；对于任意一个自然数，0与这个数的和等于该数.

第一条规则定义了自然数的加法零元——0.

（2）m，n∈N，n′+m=（n+m）′.对于任意两个自然数m，n，n的后继与m的和等于n与m的和的后继.

这条规则使得任意两个自然数的加法运算都能回归到第一条规则，从而使运用数学归纳法推演所有自然数的加法运算成为可能.例如：

2+4=1′+4=（1+4）′=（0′+4）′=（（0+4）′）′=（（4）′）′=5′=6.

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，就能确定任意两个自然数相加的结果.笔者以五条公理和两条加法规则为工具，对自然数加法的前两个基本性质做一个简单的例证，其余性质仅给出：

1.1+1=2.

证明：1+1=0′+1 （根据自然数公理）

=（0+1）′ （根据加法定义（2））

=1′ （根据加法定义（1））

=2 （根据自然数公理）

2.结合律：对于任意自然数m，n，k，有（m+n）+k=m+（n+k）.

证明：（1）当m=0时，（0+n）+k=n+k=0+（n+k）；

（2）假设命题对m成立，则有：

（m′+n）+k=（m+n）′+k （根据加法定义（2））

=[（m+n）+k]′ （根据加法定义（2））

=[m+（n+k）]′ （根据假设条件）

=m′+（n+k） （根据加法定义（2））

即命题对m′也成立.

由（1）（2）可知，对于任意自然数m，n，k，结合律（m+n）+k=m+（n+k）成立.

3.对于任意自然数m，m′=m+1.

4.对于任意自然数m，m+0=m.

5.交换律：对于任意自然数m，n，有m+n=n+m.

其次，定义自然数乘法是满足下列两条规则的二元运算：

（1）对于任意自然数m，m·0=0；任意一个自然数与0的乘积都等于0.

（2）m·n′=m·n+m.

下面笔者以五条公理和规则为工具，对自然数乘法的一条基本性质进行例证，其余性质仅给出：

1.乘法对加法的分配律：对于任意自然数m，n，k，有m·（n+k）=m·n+m·k.

证明：对n进行归纳

（1）当n=0时，m·（0+k）=m·k=0+m·k=m·0+m·k，命题成立；

（2）假设命题对n成立，则有

m·（n′+k）

=m·（n+k）′ （根据加法定义（2））

=m·（n+k）+m （根据乘法定义（2））

=（m·n+m·k）+m （根据假设条件）

=m·n+（m·k+m） （根据加法结合律）

=m·n+（m+m·k） （根据加法交换律）

=（m·n+m）+m·k （根据加法结合律）

=m·n′+m·k （根据乘法定义（2））

即命题对n′也成立.

由（1）（2）可知，对于任意自然数m，n，k，m·（n+k）=m·n+m·k成立.

2.乘法结合律：对于任意自然数m，n，k，有（m·n）·k=m·（n·k）.

3.对于任意自然数n，0·n=0.

4.对于任意自然数m，n，n′·m=n·m+m..

5.乘法交换律：对于任意自然数m，n，有m·n=n·m.

根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，可以通过定义减法得到整数系，定义除法得到有理数系.同时，通过定义有理数的基本序列的等价类（由康托提出）或者通过有理数集的分割（由戴德金提出）定义实数.数学在数系扩充的发展历程中逐渐充实起来.

四、高中数学教学中介绍皮亚诺自然数公理系统的意义

1.教育意义

当前，高中生在数学学习的过程中，容易出现两类极端现象：一类是崇尚捷径，追求各种公式化和套路化，这类学生勤于做题，擅长解题，甚至还没看完题目，就能报出答案，但是一旦问题条件有所变动，他们首先想到的不是如何重新思考、解决问题，而是认为题目出错了，完全忽略了学习数学的本源；另一类则是在枯燥的数学知识教学模式下，对数学感到畏惧，甚至视之为天敌，这类学生害怕思考，逃避数学学习，害怕一切形式的考查，最终丧失学习新知的兴趣和能力.这显然都不是数学教育的最终目的.而引导学生学习一些数学发展史，了解一些数学知识产生的由来和背景，能让学生用心体会真正的数学思维过程，通过那一段段辉煌或萧条的时代背景、一个个引人入胜的真实故事，揭示数学并非是枯燥乏味的，增强学生对数学学科的学习兴趣，并使学生真正做到“知其然，知其所以然”.

2.学科意义

笔者在现在的大学生群体中做过一个小范围的简单调查：请调查对象说出自然数的定义.有部分调查对象思考一番后，说：“不知道.”有部分调查对象反问：“自然数还需要定义吗？”大部分调查对象的回答是：“自然数就是0，1，2，3…”不论是不是数学专业的学生，都应该

对从小就接触的数学概念

有一个完整且准确的了解.在当前拓展延伸知识内容、丰富学生知识面的目标驱动下，适当地对学科知识作进一步的深入探究势在必行.所以，在高中阶段的数学教学中介绍自然数公理系统具有重要的学科意义.

3.传承意义

数学史是整个人类文明史非常重要的组成部分.数学史的研究对象不仅包括数学内容及其发展历程，还涉及历史、哲学、宗教、政治、经济等社会科学与人文科学内容.不了解数学史，就不可能全面了解人类的发展史.但从当前高中数学的教学状况来看，不少有关数学史的知识都被授课教师忽略或者一笔带过.这或多或少是因“以考定教”的现状造成的.但从学生发展的角度出发，高中数学教师应重视数学史对数学教学的促进作用，认真对待教材中的数学史知识，并结合学生的实际情况，对教学内容进行适当的拓展延伸，绽放数学学科的魅力.

4.可行性意义

首先，高中生对自然数并不陌生，较容易接受这一公理系统的切入口.教师针对学生已经习以为常的自然数算术运算进行设问，容易激发学生的研究兴趣.其次，皮亚诺自然数五条公理之间的逻辑关系其实也正对应了人们对自然数的认知层次，且高中生的知识能力水平

已达到一定层次，完全能够理解和接受其中的演绎、推理过程.在自然数加法和乘法基本运算性质的证明中使用的数学归纳法，本就是高中数学的教学内容.这能充分让学生体会到数学归纳法本身的运用绝不仅仅是解决课本上或习题集中的几道题目，它在数学科学的发展历程中扮演着重要的角色，从而使学生重新认识课内所学习的数学知识.因此，

在高中数学教学中介绍皮亚诺数学公理系统

在具备多种必要性意义的同时，还具有可行性.

五、结束语

德国数学家希尔伯特在他著名的讲演《数学问题》中提出了23个问题，揭开了20世纪数学的序幕.他在讲演的开头说：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”我们有理由相信，数学的发展将有更广阔的天地，未来各个领域范围内的竞争必然在很大程度上受到数学发展的影响.我国著名数学教育家张奠宙曾说：“如果说小学数学本质上是实用性数学，那么初中数学的本质已经是智力型数学了……有理数的运算、几何论证、平行线与无理数的无限特性都超出了日常生活经验的范围……怎样设计教学？这是一个很大、很要紧的课题，那肯定需要创新，乃至形成中国数学教育的一种特色.”笔者认为，这段话同样适用于我国当前的高中数学教学.在高中数学教学中，对现有的数学知识和理论进行更深入的探索和研究，引导学生通过学习、了解相关数学内容的背景知识，可培养学生学习数学的兴趣和严谨的学科精神，提升学生的数学学习能力.

[ 参 考 文 献 ]

[1]（美）Howard Eves著，欧阳绛译.数学史概论[M]（第六版）.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013.

[2]李文林.数学史概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]（德）弗雷格著，王路译.算术基础[M].上海：商务印书馆，1998.

（责任编辑 钟伟芳）