浅谈概率公理化及性质教学的若干思考

牛勇

【摘 要】本文对概率论课程教学中的概率公理化及性质进行详细的探讨，同时辅以若干例题  加深同学对公理化思想的认识，并能灵活的运用概率的相关性质解决一些有趣的实际问题，从而提高学生学习兴趣，同时也提升教学质量。

【关键词】概率论;公理化;古典概型

中图分类号：G712 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）14-0109-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.14.051

Some Thoughts on the Teaching of Probability Axiomatization and its Properties

NIU Yong

（Department of Mathematics and Physics，Hefei University， Hefei Anhui 230601， China）

【Abstract】In this paper， we make a detailed discussion on the axiomatization and nature of probability in the course of probability theory teaching， with some examples to deepen the students' understanding of the axiomatization idea， and to use the relevant nature of probability flexibly to solve some interesting practical problems. As a result， it improve students interest in learning and the quality of teaching.

【Key words】Probability theory; Axiomatic; Classical probability

概率是一門古老的学科，一般认为它是在17世纪中叶由研究赌博问题而诞生，但是作为数学的一个分支，直到20世纪中叶，它都没有严格的数学基础。期间许多学者提出了各种各样的概率的定义，如古典概率、几何概率等等，但是它们都有自己的缺陷性。直到20世纪初，法国数学家勒贝格提出著名的勒贝格测度及积分理论，才使得概率论有了建立严密数学基础的工具。受到希尔伯特在1900年国际数学家大会上建议用数学的公理化方法推演全部物理内容，首当其冲就是概率和力学。1933年，前苏联著名学者柯尔莫哥洛夫通过对与实变函数中相关概念内比的方式建立概率论公理化体系，并迅速得到承认，这是概率论历史上非常重要的里程碑，从此概率作为数学的一个分支也有了严密数学基础，从而更好地促进概率及相关学科的飞速发展。但是，对与一般普通院校的数学或统计专业学生，测度及相关理论超过了他们的能力范围，因此相应的概率论教学中并非严格论述概率公理化的方法。处理的方式，类似理工科概率统计的方式，先讲简单的古典概率，进一步再讲几何概率，最后讲概率的公理化定义及相关性质。但是作为数学或统计专业的学生，概率的理论要求要更高，因此可以适当地加入较简单的域，概率测度的内容，加深他们对概率本质的认识。我院作为应用型高校的典范院校，从2012年开始进行模块化改革，为此我们深入的思考概率论相关模块化改革问题，并取得一定成果。本文我们以概率公理化及性质这部分内容来谈谈教学中一些设计和思考的问题。

1 概率公理化

首先，概率的公理化定义如下：

设Ω是样本空间，F是Ω的某些子集构成的σ域，对任意A∈F，定义一个集函数P（A）满足：

（1）非负性：P（A）>0;

（2）规范性：P（Ω）=1;

（3）克列可加性：设A1，A2，…，An，…是一列两两互不相容事件，则：

则：称P（·）是定义在（Ω，F）上的概率（测度）[1]。

根据上面三条基本公理很容易推出概率的一些有用的性质。例如在（3）中，另所以事件Ai=？覫，容易得到P（？覫）=0。再带入（3）中，可以得到概率具有有限可加性。即设A1，A2，…，An是n个两两互不相容事件，则：P（ A ）= P（Ai）。结合在公理化教学之前的古典概率问题，引导学生思考为什么在公理化中要求的是更强的可列可加性而非有限可加的条件？其实在古典概率的教学中，就已经提示了他的缺点，即样本空间中只能有有限个样本点，而实际中很多问题样本点都是无穷多个。从本质上来说，可列可加性来源于勒贝格测度在定义的时候是必须的，而我们公理化的实质就是借鉴了实变函数中测度的处理方式。另一方面，有限可加性能否导出可列可加性呢？或者进一步引导学生，如果再加上什么条件就能使得二者等价呢？在教学的过程中，稍加引导不难得到相应的结论。

首先，我们通过一个简单的反例，说明有限可加是不能直接导出可列可加的，但是这种反例在一些院校的教学中较为缺乏。有鉴于此，我们构造如下反例：

例1设F是Ω=[0，1）中的所有左闭右开区间所生成的域，定义F上的集函数P（·）如下：如果存在a∈[0，1）使得[a，1）？哿A，则定义P（A）=1;否则，定义P（A）=0。容易验证，这样的P（·）满足非负性、规范性和有限可加性。但是，很显然它不满足可列克加性。实际上，我们取事件Ai=[1- ，1- ），i=1，2，…，n，显然此时A1，A2，…，An是两两互不相容的。容易计算， A =[0，1），再根据P（·）的定义：P（ A ）=P（[0，1））=1;但是另一方面，P（Ai）=0，i=1，2，…，n，又可得P（ A ）=0，从而矛盾。因此集函数P（·）不满足可列可加性。对与学有余力的同学，我们还可以进一步分析在有限可加基础上增加什么条件就能得到可列可加性。这需要进一步引入概率的下连续性，即对与F上的集函数P（·），若对F的任意单调不减事件序列{An}，有： P（A ）=P（ A ）。有限可加性和下连续性综合起来就和可列可加性等价，具体的证明也不难，可以根据课时和学生的掌握程度来确实是否在课堂上讲授。这样，学生对与这两种可加性就有更深刻的认识。

总得来说，概率的公理化是建立在实变函数的基础上，难点和要点就在于事件类的选择，如果事件选地过少，就相当于定义域太小，不能满足实际需要;如果里面的事件选取的过多，又可能导致无法给出一个不产生歧义的概率定义。因此最后，我们选择包含所有我们关心得事件所构成的σ域F，它保证事件的所有交、并、逆、差等运算进行可列次仍然封闭。这种对可列运算封闭的集合类，也暗示我们后面在定义概率的时候，需要满足可列可加的性质。

2 概率的性質

在上面讨论公理化的基础上，很容易导出概率的一些性质，这些性质对与后续内容的学习以及之前的古典概型、几何概型的计算都有重要的作用。在教学过程中，为了让学生很好地掌握这些性质，我们可以举一些有代表性的例子来加以说明，同时一些有趣的例子能更好地激发学生对概率的性质。首先，我们列举一下概率的主要性质如下：

这些性质还可以有进一步导出次可加性和概率的单调性等，同时这里的内容进一步用到后面的条件概率、乘法公式，以及全概率公式和贝叶斯公式等相结合，会让学生感觉公式太多，太复杂，在实际中不知道用哪个公式。为此，我们应循序渐进的推导这些性质，并辅以适当有趣的实例让学生更好地掌握这里的内容。下面我们举两个有趣的例子来说明性质（3）和（5）在实际中的应用。

例2：（最大车牌号问题）某城有N辆车，车牌编号从1到N，某人在去该城的途中把所遇到的车牌记下（可能号码有重复），求抄到的最大号码是k的概率（1≤k≤N）？

这个题目是典型的古典概型问题，即每辆车号码被抄下的概率相同。我们首先想到的是用排列组合的方法来计算，但是考虑到这些号码的可重复性，直接就算较为困难。为此，我们换一个角度思考，如果我们考虑记下的号码不超过k这样的事件为Bk，则题目中抄到的最大号码是这个事件就可以表示成Bk与Bk-1两个事件差。即，如果记事件抄到的最大号码是k为Ak，则Ak=Bk-Bk-1，且Bk-1？哿Bk。显然，P（Bk）= ，再更加性质（3）容易得到P（Ak）= 。这个题目很有意思，在二战的时候，盟军用它来估计德国的军火生产能力，具体来说可以从缴获的坦克的号码、击毁坦克的号码、以及运输中抄下的坦克编号就能得这里所谓的k，而P（Ak）可以利用统计中的序贯分析的方法加以估计，这样就可以把这里的N大致的反解出来，从战后披露的数据看，当时的推断较为准确的，取得较好效果。[3]

例3：（匹配问题）某人一次写了n封信，并准备n个信封。如果他随机的将n封信装入n个信封，问至少有一封信的装对的概率是多少？

这个题目也是古典概型问题，很多同学看到题目以后很快会想到用对立事件来处理，至少有一封信的装对的反面是没有一封信装对，但问题是没有一封信装对这样一个事件也是无法直接计算的。因此，我们要想办法转化原有的问题，把上述事件分解成一些简单的事件再加以计算。这里关键在于至少有一封信的装对如何换一个角度去表达。结合和事件的定义，如果我们记Ak表示第k封信装对，则 Ai即为至少有一封信装对这个事件，然后再用一般的加法公式就可以得到相应结果。此时容易计算，P（Ai）= = ，P（AiAj）= = ，…，P（A1A2…An）= 。

利用一般的加法公式，易得：

3 小节

概率公理化一直以来都是概率论教学中的一个重点和难点，它是整个概率论大厦的基础，因此很重要，同时由于它是建立在抽象的测度和积分基础上，从而又是较难掌握的内容。我们在实际的教学中，因从简单的古典概型、几何概型慢慢地过渡到概率的公理化，对与其中的抽象的测度和积分可稍加介绍，同时也可以反过来用公理化去解释之前的古典概型和几何概型。通过这种循序渐进，实例引导的方式，帮助学生深入理解公理化的思想，并能灵活的运用概率的性质，解决实际问题，提高学习的兴趣和教学质量。

【参考文献】

[1]李贤平.概率论基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]茆诗松，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.