时空维度视角下的统计指数公理化检验方法演化研究

张栋华

(东北财经大学 统计学院，辽宁 大连 116025)

一、引 言

随着指数公式类型及其数量越来越多，如何选择其中具有优良性质的指数成为一个重要议题。Fisher①Irving Fisher是美国最伟大的经济学家之一，是数理经济学和价格指数理论的先驱，其中著名的费雪方程式是其在1911年《货币的购买力》中提出的。首次系统地提出时间维度下的公理化检验方法，并且应用该方法将列举的134种指数划分至worthless至superlative等7个组别中，其中通过检验公式越多的指数，其越接近于superlative②Irving Fisher提出的superlative indices与Diewert(1976)提出的superlative indices有所区别。组别[1]246-257。在Fisher提出该方法后，通过公理化检验方法来判别指数的好坏成为选择指数的重要准则，并且多位学者对该方法作出了进一步的阐述、扩展，这些方面包括：Eichhorn指出公理化检验方法并不是一个可以将所有检验公式纳入的兼容体系[2]69-94；Olt和Balk对该方法进行了系统的整理、阐述和扩展[3]270-275[4]；Diewert和Balk在时间维度下公理化检验方法的基础上提出空间维度下的公理化检验方法[5][6]68-74[7]；此外，部分国内学者将公理化检验方法应用到具体的问题当中，其中冯星光和张晓静采用公理化检验方法中的部分公式对贫困测度指标进行了综合评价[8]。

公理化检验方法作为构建指数理论方法中的一种，一方面可以作为指数的检验方法，如Fisher、Balk等学者通过该检验方法对大量的指数进行了对比总结，并选择出其中具有优良性质的指数；另一方面，可以通过相关的检验公式来推导所要求的指数。从公理化检验方法的两个作用来看，具体可以描述为抛开指数的具体公式形式和无需具体公式形式的实际数据，用来提出指数应该所具备的一些特征，进而归纳形成指数的检验方法，并且可以从集中化、抽象化的公理检验公式出发，演绎出各类指数公式，可见公理化检验方法在筛选指数，构建指数上有着重要的作用。

二、时间维度下的公理化检验方法演化

(一)时间维度下公理化方法的初步提出

指数公理化方法的出现是一种非常自然的事情，随着众多指数的提出，如以拉氏指数为代表的Young指数，以帕氏指数为代表的调和平均形式指数、以C-D指数为代表的几何平均形式指数，以及后来以Vartia-I和Vartia-II指数为代表的对数算术平均形式的指数和在它们基础上演变而来的Fisher等其他指数，这些指数面临的一个问题是哪种指数的性质更加优良，有没有一种最优指数的存在，伴随着这些问题，公理化检验方法随之产生。

在指数公理化方法产生的过程中，首先出现的是各个检验公式，并且这些检验公式是在各个统计学家、经济学家在指数构造的基础上，通过指数的本质特性、所具有的经济意义和 目的用途等方面提出并发展而来，如Laspeyres提出的Identity test，表明了指数的运动方向；Fisher 提出的product test和the factor reversal test，指明了价格指数与物量指数的对偶性和经济意义，本文在此将一些检验公式总结为表1。

表1 一些双边指数公理化检验公式汇总表

随着大量指数和诸多检验公式的提出，Fisher 首次系统地对各类公理化检验公式进行了总结，并且提出8种具体的指数检验公式，认为指数满足的检验公式越多，那么该指数就更加优越[1]246-251。指数公理化检验方法的创立代表了人们对指数的认识从直观上升到了抽象的阶段，从初步、简单的认知到系统、全面的认知。

(二)时间维度下公理化方法的动态演化

在Fisher提出系统公理化检验方法后，诸多学者对该方法进行了深入地分析和扩展，主要是对公理化检验公式之间的兼容性检验，公理化检验方法的进一步扩展以及公理化检验方法的演绎作用。本文对这三方面进行详细的论述。

1.公理化方法中各类公式之间的兼容性检验。在Fisher提出公理化检验方法后，部分学者对其检验公式之间的相容性提出质疑，认为系统中的这些检验公式并不能被全部包含入内，即部分检验公式与其他检验公式存在一定的排斥性。其中，Frisch和Wald采用举证的方法首次对此进行了相关的论证，其中Wald指出，P和Q在一定假设条件下，Identity test、circular test和product test是不兼容的[9-10]。Eichhorn采用数理推导对公理化检验方法中公式之间的不兼容性进行了全面地证明和论述[2]69-94。正是因为对公理化检验公式之间互斥性的认知，在实际构造指数或者选出最优指数时，应该选择一些具有互相独立性质的检验公式。

2.公理化检验方法的进一步扩展。公理化检验方法是一种动态发展的体系，随着统计学家对指数认知的逐步加深，其检验的公式数量也在不断地增加，在该方法发展过程中，部分学者对公理化检验方法中的公式做了进一步的补充、总结，从表1提出的检验公式来看，各个学者从不同的角度对指数的内部结构和本质特征提出了自我的认知；此外，Olt和Balk对公理化检验方法分别做了系统性的描述、总结，指出公理化检验方法的适用范围和不足之处。公理化检验方法的动态发展，保证了其是一个兼容并蓄的方法体系，可以为不同指数的优劣作为一个评判的参考标准。

3.公理化检验方法的演绎作用。公理化检验方法的演绎作用，主要是指通过相关的检验公式来推导所要求的指数，即可以从集中化、抽象化的公理检验公式出发，演绎出各类指数公式，具体可用式(1)的形式来进行具体说明：

F(k1,...,kN)=P

(1)

从公理化检验方法的演变来看，其是一个不断发展包容完善的过程。从发展阶段来看，首先出现的是各类公理化检验公式来检验统计指数的优劣，其次又通过检验公式演绎出所需要的指数。

三、空间维度下的公理化检验方法演化

(一)空间维度下公理化检验方法提出的背景

随着全球经济的一体化发展，要求不同国家、区域经济水平或者诸如人均收入、工业产值等其他指标进行比较，以此来分析国家或区域间经济水平等多方面的状况。在多国或多区域比较中，由于国家的重要程度不同，以及更加复杂的加总计算等问题，特别是如果选择双边指数直接进行多边比较计算，其结果可能依赖基期国家的选择性，即选择不同的国家作为基期国家，其带来的最终结果可能会出现不同，这种多边国家之间比较的特征决定了双边指数直接应用在其上可能存在偏误，因此在测度多个国家的经济水平对比上，双边指数所计算出的数值与真实的数值之间会存在一定程度的偏差。

随着时间的推进，诸如GEKS(Gini-Eltetö- Köves-Szulc method)、GK(Geary-Khamis method)和CPD(The Country-Product-Dummy method)等多边指数方法被提出，这些方法的性质如何，特别是在一些相似方法的比较中其优缺点的对比说明，因此如何像Fisher提出对应的检验公式来分析比较这些方法就显得很有必要。

(二)空间维度下公理化检验方法的提出及其特征

Diewert*Diewert是当今价格指数领域中最出名的学者之一，是《Consumer Price Index Manual Theory and Practice》(2004)、《Operational Guidelines and Procedures for Measuring the Real Size of the World Economy》(2011)等价格指数领域书籍的主要编撰者之一，是《The New Palgrave Dictionary of Economics》中统计指数一栏的编写者。提出多边比较下(空间维度)的公理化检验方法，将多边指数的公理化检验公式总结为9种，在此本文将其中的9种公理化检验公式归纳为表2。

从Diewert提出的一系列检验公式可以看到：

第一，由于在多边指数方法中包含双边指数方法的特征，并且多边指数的公理化检验方法是基于双边指数公理化检验方法发展而来的。因此，空间维度下的检验方法一方面反映出理论方法上的连续性特征，如物量比率检验和价格比率检验是基于时间维度下公理化方法中的比率检验发展而来，Diewert提出的公度性检验是基于Jenvos、Pierson、Fisher所提出的公度性检验发展而来；另一方面，空间维度下的公理化检验方法又有其个性的一面，如多边国家互换检验测度的意义在于保证各个国家在比较中有公平的、不偏不倚的地位，防止在购买力评价的测度中出现格申科龙效应[5,12]。

表2 一些多边指数公理化检验公式汇总表

第二，空间维度下的公理化检验方法更加侧重检验物量指数*购买力平价(Purchasing Power Parity，PPP)，在多边比较(International Comparison Program，ICP)中，仅仅作为一个中间过程，最终目的在于求解各国国力等物量方面的比较。，如Diewert和Balk基于Sk(P,Y)来检验其所提出的各类公理化检验方法，原因在于区域或世界范围内的多边比较，其目的往往是比较各国的经济水平、产出水平等，即物量水平上的比较[5,13]。

第三，在空间多边比较中，其比较的范围内国家之间应该保持一种“均匀”状态，因此在空间维度下的公理化检验公式中，多边国家互换检验意味着在区域内的多个国家中，不能存在一个国家独大，即区域内的每个国家都应该被公平对待，Kravis等将该检验视为基期国家的不变性[14]376。在多边国家经济水平比较中，该检验被认为是一个非常重要的检验。

(三)空间维度下公理化检验方法的动态演化

在Diewert之后，Balk等部分学者对空间维度下的公理化方法进行了扩展与修正，其中Balk通过采用不同国家的权重对其中的检验公式进行了修正处理，在对比10种多边比较方法后，对Diewert所提出的9种多边指数的公理化检验方法作了进一步的修正，并通过这些检验指出GK方法和the Van I Jzeren方法要更加优越[13,15]。在Balk提出修正后的检验公式基础上，Diewert对空间维度下公理化检验公式进行了系统性总结，并提出了包含可加性等12种检验公式[12]。可以说，空间维度下的公理化检验方法在不断的动态演化，在这个动态过程中，公理化检验方法中的各种公式是被学者不断提出的，这些检验公式提出的过程也是对多边指数结构认知逐步加深的过程。

四、对公理化检验方法的评析

(一)公理化检验方法与指数之间可以进行互相推导

公理化检验方法作为反映指数本质特征和经济意义的方法，其具体的检验公式是通过指数的运动特征和其他特性推导得出的，并且随着对指数的认知越加深刻，推导而出的公理化检验公式也会逐步得到增加；另一方面，公理化检验方法中的检验公式也可以在一定条件下进行结合，进而推导出所需要的指数。在这种相互的推导过程中，也反映出对指数的本质特性了解越加深刻。

(二)时间和空间维度下的指数公理化检验方法，两者侧重点并不相同

时间维度下的公理化检验方法其检验的不仅包括物量指数，也包括价格指数，而空间维度下的公理化检验方法更加侧重于物量指数，其原因可能在于时间维度下的指数目的不仅偏向于测度同一个体在不同时间上经济水平的比较，也包括测度对价格的变动，如通货膨胀上的测度，而多边比较方法更加注重物量上的比较*尽管在多边比较中，也存在测度区域通货膨胀率和世界通货膨胀率，然而由于目前的ICP只是几年才能测度一次，因此中间的年份数据只能通过推导而获得，所以其最终获得的世界通货膨胀率数值也是不准确的。，即多个国家的国内生产总值等方面的比较。

(三)在一定条件下，公理化检验方法可以演绎出任意指数

从理论上而言，在条件足够的前提下，无论是时间维度的公理化检验方法还是空间维度的公理化检验方法都可以演绎出所需要的指数，这正是公理化检验方法可以作为构建指数理论的原因所在。然而，这些检验公式如何去找，怎么将这些公式形成一个独立的体系，仍然需要去不断地验证和发展。

(四)时间和空间维度下的指数公理化检验方法，两者既有共性又有个性

由于许多空间多边指数是基于时间双边指数的原理提出和设计的，作为反映空间指数本质特征的公理化检验方法与反映时间指数本质特征的公理化检验方法有着诸多的共性，如时间维度下的公理化检验方法对应的公度性检验和空间维度下的公理化检验方法对应的公度性检验基本类似。然而，国家或者区域的多边比较与时间双边比较也存在很大的不同，如时间数据对应的双边指数，其在时间上是无限的，并且有着自然的排序和同等的位置。但是，在多边比较中，国家的数量是一定的，并且国家并没有一种自然性的排序和不同的位置，这种位置可能是由于国家的经济实力、人数等原因所引起的，这种比较上和方法上的差异性导致了公理化检验方法必然在共性中存在着个性特征，如多边国家互换检验意味着在多个国家的比较中，不应该存在一个不对称性的国家，即区域内的每个国家都应该是对称和均匀的，而在时间维度下的公理化检验方法并没有类似的检验。

五、结 论

(一)公理化检验方法为统计指数的编制、设计与评价提供了框架准则

从公理化检验方法与指数之间的互相推导来看，第一，在对指数的逐步认知中，不断归纳和总结出各类公理化检验公式，这体现了对指数的认知从个别上升到一般的过程，也为后续公理化检验方法的演绎作用提供了先决条件；第二，在归纳和总结的基础上，公理化检验方法又可以从中演绎出各类所需的指数公式，这体现了对指数认知从一般、普遍的视角中回到个别、具体的指数当中，并且公理化检验方法演绎作用的挖掘与发展是对归纳作用的一个重要补充，可以为各类公理化检验公式的归纳指明一定的方向。在公理化检验方法的两种作用中，通过归纳作用总结出的各类检验公式，为以后统计指数公式的创建提供了依据和指导，并且通过这些检验公式，为不同指数之间的比较、评价提供了框架准则；通过演绎作用，在不同的假设前提下，可以推导出各类所需要的统计指数，进而为测度各类经济目标服务。

(二)公理化检验方法是数学和统计方法的一种结合

公理化检验方法中的各类检验公式，本质是通过数学的方法来描述和检验各类统计指数，并且在逐步抽象出各类数学公式的过程中，需要查看和分析各类指数公式以及其他资料，因此这一过程又是描述统计分析的过程。数学和统计的方法为统计指数的逻辑性、可比性与可分析性提供了基本的理论依据和保障，也是统计指数可以逼近现实问题的基本保证。