2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题

雷小华

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合A={x | x-10<0}，B={x | x=3n+1， n∈N}，则A∩B=

（ ）

A. ？准 B. {4， 7} C. {4， 7， 10} D. {1， 4， 7}

2. 已知命题p：？埚∈R，sin=；命题q：？坌x∈R，x2+1>x，则下列命题为假命题的是（ ）

A. p∨q B. ？劭 p∨？劭 q C. ？劭 p∨q D. p∨？劭 q

3. 复数z =（i是虚数单位，x∈R），则复数z所对应的点（ ）

A. 位于x轴上方 B. 位于x轴下方

C. 位于y轴左方 D. 位于y轴右方

4. 若函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数，则下列结论成立的是（ ）

A. f（x）必为偶函数 B. f（x）必为奇函数

C. g（x）必为偶函数 D. g（x）必为奇函数

5. 已知双曲线C：-=1（a>0，b>0） 的渐近线方程为y=±，则双曲线C的离心率为（ ）

A. B. 2 C. D. 3

6. 已知x，y满足约束条件x+y-1≤0，x-y+1≥0，y≥0，记z = ax+y（a>0） 的最大值与最小值分别为M与N，若M+N=0，则实数a的取值范围为（ ）

A. {1} B.[1， 2]

C.[1， 3] D.[1， +∞）

7. 执行如图1所示的程序框图输出的结果是（ ）

A. 6 B. 5

C. 4 D. 3

8. 如图2，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1厘米），图中粗线画出的是某三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B.

C. D.

9. 函数f（x）=x（x+a）+b（a∈R， b∈R），若方程f（x） = 0有实数根，则函数f（x）存在非负零点的概率为（ ）

A. B. C. D.

10. 等差数列{ an } 中，已知a1=lg2，21a1+a100=11，则a5+a6=（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 以BC为直径的半圆O与直角三角形ABC共面，如图3，已知BC=2，AB⊥AC， ∠ACB=30°，点P是半圆上的任一点，设∠BOP=（0≤≤？仔），f（）=（+）·，则函数f（）的图像为（ ）

12. 已知n∈N？鄢，直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）与抛物线Cn：y2=4n2x相交于An、Bn两点，记AnBn两点间的距离为dn，d=，则当n与k均趋向于无穷大时，d的取值范围为（ ）

A. （，） B. （，） C. （，） D. （，1）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题.每小题5分.

13. 已知{ an } 是公比为的等比数列，Sn为{ an } 的前n项和. 若S3=57，则a4= .

14. 若函数f（x） = x3+mx在x = m处的切线与x轴相交于点（2m， 0），则实数m= .

15. 我国著名数学家杨辉在《详解九章算法》一书中有计算“三角垛”（图4）物体总数的题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？答曰：三百六十四个. 术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一”，意思就是：“有一个三角垛，底层每条边上有12个物体，上面是尖的（只有1个物体），问：总共有多少个物体？答案是：364个. 计算方法是：用12加1的和乘12，作为底面的面积，再用12加2作为高来乘，得到一个长方体的体积，取它的6分之1，就是这道题目的解.” 推而广之，如果用表示“三角垛”的层数，也就是底层每条边上物体的个数，用Sn表示物体总数，就得到“杨辉三角垛公式”：Sn=，用这个公式，就能很方便地算出，“三角垛”中物体的总数.

现有“正方垛”（图5）自上而下，第1层12个，第2层22个，第3层32个，…，这里仍然用n表示“正方垛”的层数，用Tn表示物体总数，则“正方垛公式”Tn=Sn+ . 化简即为Tn=，即〔12+22+32+…+n2=〕.

16. 已知函数f（x）=x2+2x+1， x≤0-log2（x+），x>0 若a

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）在？驻ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知=.

（1）求的值；

（2）若cosB=，？驻ABC周长为（4+），求？驻ABC的面积.

18.（本小题满分12分）某城市为了解道路交通状况，工作人员在市内随机选取处路段，在某段测试的时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：

147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 164 159 189 168 169

（1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图；

（2）如果机动车通行数量与道路交通状态的关系如图6，现用分层抽样的方法从“拥挤”以上的路段中抽取7处给以改造，从中选2处安装智能交通信号灯，那么阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是多少？

19.（本小题满分12分）如图7，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，BC=2，对角线的交点为O，面ABD绕BD向上旋转至EBD，使点E在底面的射影为AO的中点F. CG⊥面ABCD，CG=1.

（1）证明：平面EBD⊥平面GBD；

（2）求三棱锥E-BDG的体积.

20.（本小题满分12分）直线l：y=x+m（m>0），椭圆C：+=1（a>）的长轴长为4，椭圆的左右焦点分别为F1、F2 . 已知直线与椭圆相切，切点为N.

（1）求a、m的值；

（2）设M是直线l上的任意一点，当·取得最小值时，求线段 | MN | 的长.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=e2x-2ax.

（1）若曲线f（x）在某点（x0， f（x0））处的切线恰为x轴，试求a的值；

（2）讨论f（x）的零点个数.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图9，AB是⊙O的直径，AB=BC，CT、ED分别是⊙O的切线，切点分别为T、D.

（1）求证：DE⊥BC；

（2）若∠BAC=30°，BE=，试求切线CT的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C1：x=-1-t，y=2+t（t为参数），C2：x=2cos？兹，y=2sin？兹（？兹为参数）.

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t=-，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线L：2ρcos？兹+2ρsin？兹+3=0的距离的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）= | x-a |-2 | x-3a |（a>0） .

（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围.

2016年普通高等学校招生

全国统一考试文科数学模拟试题

参考答案

一、选择题

1.【答案】选D. 由A={x | x<10}，故A∩B={1，4，7}，故选答案D.

2.【答案】选B. 由p真q真可知：？劭 p∨？劭 q为假命题. 故选答案B.

3.【答案】选D. z =====i，显然实部大于零，故复数z所对应的点位于y轴右方，故选答案D.

4.【答案】选A. 由函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数可知，f（x）必为偶函数. 而对于g（x），可为偶函数或奇函数或非奇非偶函数.故选答案A.

5.【答案】选C. e2==1+=3，所以e=. 故选答案C.

6.【答案】选D. zmin=-a，若要M+N=0，则需a∈[1， +∞）.故选答案D.

7.【答案】选B. 直到n=5，y=32-25=7>1跳出循环. 故选答案B.

8.【答案】选A. 还原该几何体，如图10.

该几何体的体积为VA-BCD=·SBCD·h=×××7×7=， 故选答案A.

9.【答案】选C. 方程f（x）=0即为x（x+a）+b=0，即x2+ax+b=0，若有实数解，则必有？驻=a2-4b≥0，即b≤a2. 若函数 f（x）存在非负零点，则需a≤0. 从图形看出满足题意的概率为. 故选答案C.

10.【答案】选A. 由条件可得：a100=11-21lg2. 故d==（1-2lg2），所以a5+a6=2a1+9d=2lg2+9×（1-2lg2）=1. 故选答案A.

11.【答案】选A. 以CB所在的直线为x轴，以O为坐标原点建立直角坐标系. 则P（cos， sin），A（， -），由+=2=（-1， ），=cos-， sin+，所以f（）=（-1， ）·cos-， sin+=sin-cos+2=2sin（-）+2（0≤≤？仔）.

故应答案在A、C中，因0≤≤？仔，所以sin（-）∈[-，1]，故f（）∈[1， 4]，故答案选A.

12.【答案】选C. 抛物线Cn：y2=4n2x的焦点坐标为Fn（n2， 0），直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）过定点Fn（n2， 0）. 联立直线与抛物线组成方程组，y=k（x-n2），y2=4n2x， 消元得：

k2x2-2n2（k2+2）x+k2n4=0，设An（xn ′， yn ′）、Bn（xn ″， yn ″），则：

dn=| An Bn |=xn ′+xn ″+2n2=4n2·. 故d=·，当k趋向于无穷大时，

d=<[1+++…+]=（2-）→，故的范围为，选C.

d=>[++…+]=（1-）→，故d的范围为（，） ，选C.

二、填空题

13.【答案】8.由S3==57，得a1=27.故a4=a1·（）3=27×=8.

14.【答案】0或-. f′（x）=3x2+m，故f′（m）=3m2+m，

f（m）=m3+m2，切线方程为：y-（m3+m2）=（3x2+m）（x-m），由于过点（2m，0），故有0-（m3+m2）=（3m2+m）（2m-m），解得：m=0或m=-.

15.【答案】Sn-1（或）.正方垛可化为两个三角垛，层数相差一层，故填Sn-1.

16.【答案】（-2，-），由于a+b=-2为定值，且c∈（0，），故a+b+c∈（-2，-）.

三、解答题

17.解析：（1）由正弦定理，设===k

则==…………1分

所以=…………2分

即（cosA-cosC）sinB=（sinC-sinA）cosB，……3分

化简可得sin（A+B）=sin（B+C），…………………5分

又A+B+C=？仔，

所以sinC=sinA，因此=，即=………………6分

（2）由（1）得：c=a. 由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2×a2×=2a2………8分

所以b=a，因a+b+c=4+，故a=，因此b=2.………………10分

由S△BDG=acsinB=××2×=……………12分

18. 解析：（1）

……………………………………………2分

……………6分

（2）“拥挤”以上的路段共处，用分层抽样的方法抽取7处给以改造，则拥挤、很拥挤、阻塞三路段各被抽出4条、2条、1条.用事件A1、、A2、、A3、A4表示被选中的“拥挤”路段，用事件B1、B2表示被选中的“很拥挤”路段，用事件C表示被选中的“阻塞”路段，则从这7处中选2处安装智能交通信号灯的基本事件有

（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C）；（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，C）；（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，C）；（A4，B1）、（A4，B2）、（A4，C）；（B1，B2）、（B1，C）；（B2，C）共21种情况…………………………9分

其中符合要求的有（A1，C）、（A2，C）、（A3，C）、（A4，C）、（B1，C）、（B2，C）共6种………10分

所以阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是：P==…………12分

19. 解析：（1）连接OE、OG，由四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，BO=OD.由∠ABC=120°，BC=2，故AO=OC=，BO=OD=1…………2分

由点E在底面的射影为AO的中点F，即EF⊥面ABCD，因FO？奂面ABCD，故EF⊥FO，由EO=2FO，故cos∠FOE==，所以∠FOE=60°……………4分

因CG⊥面ABCD，CO？奂面ABCD，故CG⊥OC.在△COG中，tan∠COG===，所以∠COG=30°…………………………………6分

由EF⊥面ABCD，CG⊥面ABCD，故E，F，O，C，G共面，所以∠EOG=180°-60°-30°=90°.

由△CBG？艿△CDG得BG=DG，故OG⊥BD. 根据二面角的平面角定义可知，∠EOG即为二面角E-BD-G的平面角.

由∠EOG=90°，平面EBD⊥平面GBD………………8分

（2）由（1）可知：EO平面BDG，OG==2……………………9分

故三棱锥E-BDG的体积VE-BDG=S△BDG·OE=××2×2×=…………12分

20. 解析：（1）由2a=4得a=2………………………1分

联立直线与椭圆的方程得y=x+m，+=1，消去y得：3x2+4mx+2m2-4=0…………………………3分

由于直线l与椭圆相切，故△=16m2-12（2m2-4）=0，解得：m=±，因m>0，所以m=……………………6分

（2）椭圆的左右焦点为F1（-，0）、 F2（，0） …………7分

设M（x，x+），则=（--x，-x-），=（-x，-x-），由·=（--x，-x-）·（-x，-x-）=2x2+2x+4=2（x+）2+1.

故当x=-时，·有最小值.此时点M的坐标为M（-，）…………10分

又由方程3x2+4x+12=0可知，N（，）…………………11分

故|MN|==…………………12分

21. 解析：（1）由f ′（x）=2e2x-2a=2（e2x-a）， 故f ′（x0）=2（e2x0-a）.

故切线方程为 y- f（x0）=2（e2x0-a）·（x-x0）， 即y-（e2x0-2ax0）=2（e2x-a）·（x-x0）………………………2分

因为切线恰为x轴，故 e2x0-a=0，e2x0-2ax0=0 ………3分

消去x0，得a（1-lna）=0，解得：a=0或a=e ………4分

当a=0时，f（x）=e2x，函数 f（x）单调递增，不合，舍去，故a=e……………………5分

（2）①若a=0， 则f （x）=e2x=（e2）x， 函数f（x）无零点……6分

②若a<0，则f ′（x）>0， 函数f（x）单调递增，且f （）=

e-1<1-1=0，故f（0）=1>0仅存在唯一零点………7分

③若a>0， 则f ′（x）=2（ex-）（ex+）， 当x∈（0，lna）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f ′（x）>0，f （x）单调递增；故函数f （x）的最小值为：

g（a）=f（lna）=e2×lna-2a×lna=a-alna（a>0）……8分

下面对f （x）的最小值g（a）作如下分析：

当a→0+时，显然g（a）=a-alna>0，

由g′（a）=-lna，当a∈（0，1）时，g′（a）>0，g（a）单调递增；当a∈（1，+∞）时，g′（a）<0，g（a）单调递减；又g（1）=1-1×ln1=1，g（e）=e-e×lne=0 ………………9分

故当a∈（0，e）时，g（a）>0，函数f（x）无零点 ……10分

当a=e时，g（a）=0，函数f（x）有唯一零点 ………11分

当a∈（e，+∞）时，g（a）<0，函数f（x）有两个零点.

综上所述，f（x）的零点个数为：①当a∈[0，e）时，f（x）无零点；②当a<0或a=e时，f（x）有一个零点；③当a∈（e，+∞）时，f（x）有两个零点 ……12分

22. 解析：（1）连接OD，则OD⊥DE …………1分

连接BD，则AD⊥BD ……………2分

因为AB=BC，所以AD=DC ………………3分

又AO=OB，所以OD∥BC ………………4分

所以DE⊥BC ………………………5分

（2）若∠BAC=30°，则∠BDE=30° ………6分

由BE=，故DB=1，AD=DC= ………8分

由切割线定理得：CT2=CD·CA=×2=6 ……9分

所以CT= ………………………………………10分

23. 解析：（1）C1：x+y-1=0，过（1，0）、（0，1）两点的一条直线 …………2分

C2：x2+y2=4，以原点为圆心，2为半径的圆 ………4分

（2）当t=-时，P（，）. Q（2cos？兹，2sin？兹） ………5分

故M（+cos？兹，+sin？兹）…………………………6分

L为直线2x+2y+3=0 ……………………7分

∴点M到直线L的距离d==|cos？兹+sin？兹+| = |sin（？兹+）+|≤1+ …………9分

即当？兹=2k？仔+，k∈Z时，d取得最大值1+ ……10分

（也可从圆心到直线的距离再加上圆的半径这一思路入手，同样可得）

24. 解析：（1）当a=1时，不等式 f（x）>1 化为│x-1│-2│x-3│>1，

当x≤1时，不等式化为x>6，无解；

当18，解得

当x>3时，不等式化为x<4，解得3

所以f（x）>1的解集{x│

（2）由题意可得：f（x）=x-5a，x≤03x-7a，a3a………7分

所以函数f（x）的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（， 0）， B（0， 2a）， C（5a， 0），三角形的面积为 |5a-|·2a= ……9分

因为三角形的面积大于，故a的取值范围为a>1

…………………………10分

责任编辑 徐国坚