使用分两阶段编排的几何教材教学中存在的一个认知障碍的突破方法

代建伟 胡永斌

【摘要】 师生在使用实验版北师大教材的几何内容的过程中，混淆了“已经学过的命题”和“已经证明的命题（定理或推论）”，把“已经学过的命题，但是没有证明”误当作“已经证明的定理”用来作为证明其他定理的依据. 这种障碍的突破主要在认识上要明确，方法上要恰当，不能不管不问，也不能急于求成.

【关键词】 实验版北师大教材；认知障碍；三角形中位线定理

【注】 甘肃省教育科学“十二五”规划课题“北师大版实验教材与修订版教材中三形中位线定理编排的对比研究”阶段成果，课题批准号：GS[2014]GHB0719

实验版北师大教材中几何内容大体上分两阶段编排，笔者发现学生在学习的过程中存在一个认知障碍：受第一阶段学习内容的干扰，混淆了“已经学过的命题”和“已经证明的命题（定理或推论）”，把“已经学过的命题，但是没有证明”误当作“已经证明的定理”用来作为证明其他定理的依据. 这种问题集中表现在三角形的中位线定理的证明上，学生在证明定理的过程中由图形马上联想到的是相似三角形的知识，于是用三角形相似的知识证明三角形中位线定理，北师大版教材在修订后编排体系做了调整，三角形中位线定理的证明教学中不会再出现这样的现象，降低了教学的难度，但是修订教材中几何内容还是有一部分两阶段编排，第一阶段学习的内容同样会干扰第二阶段的学习，会出现同样的问题. 通过搜集整理相关资料，研究了北师大版实验教材中几何内容的编排体系，并且从这个编排体系中探讨了学生在证明三角形中位线定理存在的认知障碍；对比研究了两种教材中与三角形中位线定理有关的内容的编排以及对学生认知的影响；从数学史的角度研究了数学证明，探讨了三角形中位线定理的证明，得出了解决这一类问题的一些措施.

1. 认真研究教材的体系

北师大版实验教材相对传统的几何教材变化比较大，传统的几何教材采取“直线式编排”，即学过的几何知识也就是证明了的定理，几乎不存在北师大版教材“已经学过的命题，但是没有证明”的现象，而且我们大多数老师在上初中的时候使用的就是这种教材，在使用北师大版实验教材的过程中有些老师对这种编排体系有些排斥心理.

不管使用哪一种教材，在备课的时候都要认真研究教材的编排体系，在使用北师大版实验教材的时候如果能够整体研究这个教材体系，就能发现在几何内容的学习过程中会出现“学而不能用的现象”.

2. 对“学而不能用的现象”的认识

北师大版实验教材中在第一阶段所学的几何知识在第二阶段定理证明的过程中不能直接应用，有些学生和教师对此感到比较困惑.

其实“学而不能用的现象”我们在初中已经遇见过，并且我们在高中也会遇到. 在小学，学生一般用算数方法解应用题，到了初中为了学习并应用一元一次方程和方程组解应用题，不让学生用算数方法来解；在初中，学生研究函数的增减性的时候，是借助函数的图像直观观察得到的，到了高中，我们也用直观的方法，但是在证明函数的单调性的时候，用的是函数单调性的定义来证明的，不能用直观观察的方法. 算数和方程是两种不同的方法，直观探究和严格的逻辑证明也是两种不同的方法，我们在正确认识这种现象的基础上，引导学生在类比中认识和区别这两种方法.

3. 简单了解欧几里得编写的《几何原本》中几何部分的学习过程和思维过程

当提到欧氏几何时，教师给学生介绍《几何原本》的公理化思想多一些，但是往往忽视欧几里得编写《几何原本》的知识背景，在欧几里得编写《几何原本》之前，古埃及已经积累了大量直观的、实验的、经验的几何知识，北师大版实验教材在第一阶段编排的直观探索阶段的内容也就是想在中学课本中“还原”这段历史，欧几里得确确实实经历过这个阶段，并且在这一阶段学习的内容还要比北师大版实验教材中第一阶段编排的内容还要多得多.

欧几里得在编写《几何原本》的过程中，已经具备了大量的“已经学过，但还在其著作中没有证明的命题”，也应当像我们的学生一样受到已学知识的干扰，但是这种干扰没有难倒欧几里得，能分辨出并且能合理应用. 学生和欧几里得之间的差别是多方面的，但是在工作记忆方面就是 “新手和专家”的区别，欧几里得在工作记忆中激活的是“组块的知识”，而我们的学生在工作记忆中激活的是“零碎的知识”. 因此在教学的过程中要帮助学生完善认知结构，使所学知识结构化. 4. 简要画出定理的逻辑关系图

苏教版对几何内容的编排和北师大版的编排体系有相同之处，也是分两个阶段进行编排，笔者感觉到有一点非常值得借鉴，在“图形与证明（一）”和“图形与证明（二）”中的“小结与思考”中都画出了命题的逻辑关系图，

其实我们在教学的过程中可以边学边画这种关系图，让学生“看得见”定理之间的逻辑关系，“看得见”哪些命题已经证明了现在是定理，哪些还没有证明不能作为定理用，减轻了学生工作记忆的负担.

5. 合理利用一个问题串反复强调定理证明的基本规则

教材在第二阶段建立了一个不太严谨的逻辑体系，证明每一个定理的依据是：公理、定义、已经证明了的命题. 在学习这个知识的时候学生似乎能够学懂，但是在应用的过程中不能达到“自动化”地想到，甚至不去想. 在证明定理的过程中，当学生存在困惑的时候，要反复结合逻辑关系图提问：“我们依据的是什么？我们所依据的命题证明了没有？”通过这个问题串，帮组学生辨别哪些命题是已经学过的但是现在还没有证明，帮助学生检验在证明定理的过程中是否用了“不该用的命题”，引导学生逐步理解证明定理的规则，引导学生在证明的过程中用这个问题串自觉的自我提问并检验自己的证明过程是否用了“不该用的命题”，通过训练形成一种技能，实现“自动化”.

我们在教学过程中这种现象可能会反复出现，我们要帮助学生并发挥学生的主动性，让学生能够根据自己的学习经验发现错误，寻找原因，及时纠错.