例谈圆锥曲线中的典型问题

陈静 王书爽

离心率问题

例1 已知[F1，F2]是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点，若双曲线的左支上存在一点[P]与点[F2]关于直线[y=bax]对称，则该双曲线的离心率为（ ）

A. [52] B. [5]

C. [2] D. [2]

解析 由条件及图形分析得，

在[△PF1F2中，F1F2=2c，PF2=2b，PF1=2a].

由双曲线定义得，[2b-2a=2a]，

则[b=2a]. 故[e=1+（ba）2=5].

答案 B

点拨 此类题中有一些几何条件直接代数化比较复杂，故要数形结合，优先从几何角度分析转化条件. 比如例1中，点[P]与[F2]关于直线[y=bax]对称，可转化为直线[y=bax]的垂直平分线段[PF2]，进而得到[PF2=2b，][PF1=2a].

例2 [A1，A2，B1，B2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的四个顶点，[F]为其右焦点，直线[A1B2]与直线[B1F]相交于点[T]，线段[OT]与椭圆的交点[M]恰好为线段[OT]的中点，则该椭圆的离心率为 .

解析 由题意知，直线[A1B2]的方程为[y=bax+b]，直线[B1F]的方程为[y=bcx+b.]

联立[y=bax+b，y=bcx+b]解得，[T]的坐标为[（2aca-c，b（a+c）a-c）].

则[M]的坐标为[（aca-c，b（a+c）2（a-c））].

则[（aca-c）2a2+[b（a+c）2（a-c）]2b2=1].

化简得，[c2+10ac-3a2=0]，即[e2+10e-3=0]，

解得，[e=-5+27].

点拨 此类求离心率问题中，若不能从几何角度转化和运用条件，则适合从坐标的角度直接转化为参数[a，b，c]的关系求解.

例3 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若椭圆上存在点[P]使得[asin∠PF1F2=csin∠PF2F1]，则离心率的范围为 .

解析 由条件有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=ca].

又由正弦定理有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=PF1PF2]，

则[PF1PF2=ca].

由椭圆定义有，[PF1+PF2=2a].

联立得，[PF1=2aca+c].

由椭圆的性质得，[a-c

即[a-c<2aca+c

变形得，[e>2-1.]

又[e<1]，故[2-1

点拨 此类题所给条件与所求联系不明显，要善于挖掘隐含条件，学会整合转化条件，逐渐将条件和所研究的问题联系起来. 如本题中，先用正弦定理将角化为边，得到焦半径与[a，c]的关系；再利用椭圆的定义及性质将条件转化为只含[a，c]的关系式，从而得到离心率的范围.

轨迹问题

例4 已知圆的方程[x2+y2=4]，若抛物线过点[A（0，-1），B（0，1）]，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点[F]的轨迹方程是（ ）

A. [x23+y24=1（y≠0）] B. [x24+y23=1（y≠0）]

C. [x23+y24=1（x≠0）] D. [x24+y23=1（x≠0）]

解析 由抛物线的定义有，[AF=d1，BF=d2（d1，d2]分别为[A，B]到准线的距离）.

由图形及性质可得， [d1+d2=2r=4].

则[AF+BF=4>AB=2]，

则[F]的轨迹是以[A（0，-1），B（0，1）]为焦点的椭圆.

答案 C

点拨 遇到条件不够直观的题目，应冷静分析条件如何用. 如本题中的抛物线顶点、焦点、位置都不明确，故与其图形、标准方程、几何性质关系不大；而条件中透露了焦点、准线、抛物线上的点，显然可以从定义入手.

例5 已知圆[M：（x+5）2+y2=36]，定点[N（5，0）]，点[P]为圆[M]上的动点，点[Q]在[NP]上，点[G]在线段[MP]上，且满足[NP=2NQ，GQ?NP=0]，则点[G]的轨迹方程是 .

解析 [∵NP=2NQ]，[∴Q]为线段[NP]的中点.

又[∵GQ?NP=0]，[∴GQ]垂直平分线段[PN].

则[GP=GN].

又[GM+GP=r=6]，

则[GM+GN=6>MN=25].

故点[G]的轨迹是以[M，N]为焦点的椭圆.

故点[G]的轨迹方程是[x29+y24=1].

点拨 此类题的条件很多，且都可以直观表达，故一定要数形结合，尽量从几何角度分析整合条件，将条件向主动点及定点、定值转化. 如本题中，将条件整合转化为主动点[G]和定点[M，N]，定值半径6之间的关系.

例6 [P]是椭圆[x2a2+y2b2=1]上的任意一点，[F1，F2]是它的两个焦点，[O]为坐标原点，[OQ=PF1+PF2]，则动点[Q]的轨迹方程是 .

解析 设点[Q]的坐标为[（x，y）]，点[P]的坐标为[（x0，y0）].

由[OQ=PF1+PF2，F1（-c，0），F2（c，0）]得，

[x=-c-x0+c-x0，y=-y0-y0，]

则[x0=-x2，y0=-y2.]

又[∵P（x0，y0）]是椭圆[x2a2+y2b2=1]上任意一点，

[∴x24a2+y24b2=1]，即[x24a2+y24b2=1].

答案 [x24a2+y24b2=1]

点拨 此类题的条件明显符合相关点法求轨迹方程，即题目中除主动点外还有一相关动点，它们之间的坐标关系清楚简单，且该相关动点的轨迹方程已知.

最值范围、定值问题

例7 已知点[A，B]是抛物线[y2=4x]上横坐标不相等的两点，若[AB]的垂直平分线与[x]轴的交点是[C（4，0）]，则[AB]的最大值为 .

解析 由条件得，[CA=CB].

可设以[C]为圆心，[CA]为半径的圆的方程为[（x-4）2+y2=r2]，

则点[A，B]为圆[（x-4）2+y2=r2]与抛物线[y2=4x]的交点.

联立[y2=4x，（x-4）2+y2=r2]得，

[x2-4x+16-r2=0].

设[A（x1，y1）， B（x2，y2）]，则[x1+x2=4].

设抛物线焦点为[F]，则[AB≤FA+FB]（当[AB]过[F]时取“=”）.

[∵FA+BA=x1+1+（x2+1）=x1+x2+2=6]，

[∴AB≤6]（当[AB]过[F]时取“=”）.

故[ABmax=6].

点拨 此类题的条件与结论的关系不明显，又是最值问题，求解有一定难度. 关键在于从条件、所求两方面入手分析，一方面合理分析条件，整合条件；另一方面分析所求，恰当转化. 注意：求最值范围问题可以从不等式知识、函数知识、几何意义三个角度考虑. 如本例中将条件整合转化为[x1+x2=4]，将所求转化为[AB≤FA+FB]=[x1+x2+2]，从而使条件和结论恰当地联系起来，这是本题的最简解法. 也可以直接求[AB]的表达式，利用函数思想求解，条件也还有别的整合方式.

例8 [P]为双曲线[x2-y215=1]右支上一点，[M，N]分别是圆[C1：（x+4）2+y2=4]和[C2：（x-4）2+y2=1]上的点，则[PM-PN]的最大值为 .

解析 可以先固定[P]点，当[M]在圆[C1]上运动时，

由圆的性质得，[PM≤PC1+2].①

同理，当[N]在圆[C2]上运动时，[PN≥PC2-1]，即[-PN≤1-PC2].②

由①②得，[PM-PN≤PC1-PC2+3].

当且仅当[M]在线段[PC1]的延长线上，[N]在线段[PC2]上时取“=”.

由双曲线定义得，[PC1-PC2=2].

故[（PM-PN）max=5].

点拨 此类题目的目标式中都是动点，但条件中有一些定点、定值，应先利用几何性质尽量将问题向定点、定值转化后再计算，从而使问题迎刃而解. 如例题中，利用圆的性质将[PM]，[PN]向[PC1]和[PC2]转化.

例9 已知椭圆[C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点[F（1，0）]，且点[（-1，22）]在椭圆[C1]上.

（1）求椭圆[C1]的标准方程；

（2）已知动直线[l]过点[F]且与椭圆交于[A，B]两点，试问[x]轴上是否存在定点[Q]，使得[QA?QB=-716]恒成立，若存在，求出点[Q]的坐标；若不存在，说明理由.

解析 （1）[x22+y2=1]（过程略）.

（2）假设存在定点[Q（m，0）]，使得[QA?QB=-716].

①若[l]的斜率存在，

设[l]方程为[y=k（x-1），A（x1，y1）B（x2，y2）]，

联立[x2+2y2=2，y=k（x-1）] 得，

[（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0].

则[Δ=16k4-4（2k2+1）（2k2-2）>0，x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.]

又[y1y2=k2x1x2-（x1+x2）+1=-k22k2+1]，

[∵QA?QB=（x1-m）（x2-m）+y1y2]

[=（1+k2）x1x2-（m+k2）（x1+x2）+m2+k2]，

[∴QA?QB=（1+k2）?2k2-22k2+1-（m+k2）?4k22k2+1+m2+k2]

[=-716].

整理得，[k2（32m2-64m+30）+16m2-25=0].

由题意知，无论[k]取何值，上式恒成立，

则[32m2-64m+30=0，16m2-25=0，]

则[m=54].

②若[l]的斜率不存在，易得[m=54].

综上所述，存在定点[Q][（54，0）]，使得[QA?QB=-716].

点拨 此类定性问题一般要借助适当变量来表达要研究的量，再根据条件分析. 如本例中，是先设定点[Q]的坐标，再借用[x1，x2，k]表达[QA?QB]，最后利用条件得到只有变量[k]和[Q]横坐标[m]的恒等式，从而求出[m]的值. 也可以先由特殊情况求出[m]的值，再证明它对一般情况都成立.