向量在立体几何中的应用

赵捷

利用空间向量处理空间元素的平行关系

例1 在棱长为2的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，E，F，M，N，P，Q分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1，DD1，BB1的中点.证明：直线[BC1∥]平面[EFPQ].

证明 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为[x，y，z]轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），[P（0，0，1）]，[BC1=（-2，0，2）]，[FE=（1，1，0）]，[FP=（-1，0，1）].

方法一：因为[BC1=（-2，0，2）=2（-1，0，1）=2FP]，

所以[BC1//FP].

而[FP?]平面[EFPQ]，且[BC1?]平面[EFPQ]，

故直线[BC1//]平面[EFPQ].

方法二：设平面[EFPQ]的一个法向量为[n=（x，y，z）].

由[n?FE=n?FP=0]得，[x+y=-x+z=0].

取[x=1]，则[n=（1，-1，1）].

因为[n?BC1=0]，

故直线[BC1//]平面[EFPQ].

点拨 平行问题的转化方向：将直线与直线的平行转化为其方向向量共线；将直线与平面的平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直；将两平面的平行转化为它们的法向量之间的共线.

利用空间向量证明空间元素垂直问题

例2 如图，在棱长为[2]的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，F，M，N]分别是棱[AB]，[AD]，[A1B1]，[A1D1]的中点，点[P，Q]分别在棱[DD1，BB1]上移动，且[DP=BQ=λ（0<λ<2）]. 是否存在[λ]，使平面[EFPQ]与平面[PQMN]垂直？若存在，求出[λ]的值；若不存在，说明理由.

解析 以[D]为原点，射线[DA，DC，][DD1]分别为[x，y，z]轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，[E（2， 1， 0）]，[F（1， 0， 0）]，[P（0，0，λ）]，[FP=（-1，0，λ）]，[FE=（1， 1， 0）].

设平面[EFPQ]的一个法向量为[n=（x，y，z）]，

则[FE?n=FP?n=0]，可得[x+y=-x+λz=0].

令[z=1]，平面[EFPQ]的一个法向量为[n=（λ，-λ，1）].

同理可得，平面[PQMN]的一个法向量为[m=（λ-2，2-λ，1）].

若存在[λ]使平面[EFPQ]与平面[PQMN]垂直，

则[m?n=0]，即[λ（λ-2）- λ（2-λ）+1=0]，

解得，[λ=1±22].

因为[λ=1±22∈（0，2）]，故存在[λ=1±22]，使得平面[EFPQ]与平面[PQMN]垂直.

点拨 垂直问题的转化方向：将异面直线垂直转化为其方向向量的垂直；将直线与平面的垂直转化为直线的方向向量与平面的法向量共线；将两平面的垂直转化为其法向量之间的垂直.

利用空间向量处理空间角度问题

例3 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]，[F]分别是棱[BC，CC1]上的点， [CF=AB=][2CE，][AB∶AD∶AA1][=1∶2∶4].

（1）求异面直线[EF]与[A1D]所成角的余弦值；

（2）证明[AF⊥]平面[A1ED]；

（3）求二面角[A1-ED-F]的正弦值.

解析 建立如图所示空间直角坐标系，点[A]为坐标原点，设[AB=1]，依题意得，[D（0，2，0）]，[F（1，2，1）]，[A1（0，0，4）]，[E（1，32，0）.]

（1）由题意得，[EF=（0，12，1）]，[A1D=（0，2，-4）]，

于是[cos=EF?A1DEF?A1D=-35].

所以异面直线[EF]与[A1D]所成角的余弦值为[35].

（2）证明：已知[AF=（1，2，1）]，[EA1=（-1，-32，4）]，[ED][=（-1，12，0）]，于是[AF]·[EA1]=0，[AF]·[ED]=0.

因此，[AF⊥EA1]，[AF⊥ED].

又[EA1∩ED=E]，所以[AF⊥]平面[A1ED].

（3）设平面[EFD]的法向量[u=（x，y，z）]，

则[u?EF=u?ED=0]，即[12y+z=-x+12y=0].

不妨令[x=1]，可得平面[EFD]的一个法向量[u=（1，2，-1）]，由（2）可知，[AF]为平面[A1ED]的一个法向量.

于是[cos=u?AFu?AF=23].

从而[sin=53].

所以二面角[A1-DE-F]的正弦值为[53].

点拨 空间角问题的转化方向：将空间的两异面直线的夹角转化为两直线的两方向向量的夹角；将直线和平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角；将二面角转化为两（半）平面的法向量的夹角. 注意：厘清它们之间的“相等”“互余”或“互补”关系.

利用向量处理点到平面的距离

例4 如图，已知[ABCD]是边长为[4]的正方形，[E，F]分别是[AB，AD]的中点，[GC]垂直于[ABCD]所在平面，且[GC=2]，求点[B]到平面[EFG]的距离.

解析 方法1：以[C]为原点，[CB，CD，CG]所在直线分别为[x]轴、[y]轴、[z]轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则[A（4，4，0），][B（4，0，0），][C（0，0，0），][D（0，4，0），][E（4，2，0），][F（2，4，0），][G（0，0，2）].

设点[B]在面[GEF]内的射影为[M（x，y，z）]，

因[E，F，G，M]四点共面，

则[GM=λGE+μGF][=λ（4，2，-2）+μ（2，4，-2）]，

则[（x，y，z-2）=（4λ+2μ，2λ+4μ，-2λ-2μ）].

从而[x=4λ+2μ，y=2λ+4μ，z=2-2λ-2μ]，

[BM=（4λ+2μ-4，2λ+4μ，2-2λ-2μ）].

而[EF=（-2，2，0），GE=（4，2，-2）].

由[BM?EF=0，BM?GE=0]得，[λ=1511，μ=-711].

∴[BM=（211，211，611）]，∴[BM=21111].

方法2：建立空间直角坐标系，同上.

则[G（0，0，2），E（4，2，0），F（2，4，0），B（4，0，0）].

从而[GE=（4，2，-2），EF=（-2，2，0）]，[BE=（0，2，0）].

设平面[GEF]的法向量为[n=（x，y，z）]，

由[n?GE=0且n?EF=0得，n=（1，1，3）]，

则[d=BE?nn=211=21111].

点拨 一般地，点到平面的距离是立体几何中最基本的一种距离；而其它距离“线面距”“面面距”“异面直线之距”以及“体积”等都可转化为点面距. 同时，点面距的求解方法较多，但在易于建立空间坐标系的图形中，“向量法”往往是不错的选择. 设[M]是平面[α]上任意一点，[n]为平面[α]的一个法向量，则平面[α]外的点[P]到平面[α]的距离[d=MP?nn].