向量在不等式中的应用

利用向量不等式[a?b≥a?b]解题

例1 设[a，b>0，a+b=5]，则[a+1+b+3]的最大值为 .

解析 [p=（a+1，b+3）]，[q=（1，1）]，

则[p=（a+1）+（b+3）=]3.

[a+1+b+3][=1×a+1+1×b+3]

[=p?q][≤p?q=32].

例2 设[x，y，z∈R]，且满足： [x2+y2+z2=1]，[x+2y][+3z=14]，则[x+y+z=] .

解析 设[a=（x，y，z）]，[b=（1，2，3）]，

则[b=14]，[a?b=x+2y+3z=14].

由[x2+y2+z2=1]得，[a=1].

因为[a?b=x+2y+3z=14]，故[a?b=a?b].

从而[a//b]且同向，则[y=2x，z=3x].

代入[x2+y2+z2=1]得，[x=1414].

所以[x+y+z=（1+2+3）1414=3714].

点拨 利用向量不等式[a?b≥a?b]解决最值问题，往往需要所构造的向量的模为定值或所构造的两个向量的数量积为定值. [n]维向量不等式[a?b≥a?b]的代数形式实质就是“柯西不等式”[（a12+a22+…+an2）][（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2]，当且仅当[a1b1=a2b2=…=anbn]或[ai=bi=0]时，等号成立.

利用向量不等式[a+b≥a±b]解题

例3 已知[0

证明 设[a=（x，y）]，[b=（x，1-y）]，[c=（1-x，y）]，[d=][（1-x，1-y）]，[a+b+c+d=（2，2）]，

因为[a+b+c+d≥a+b+c+d]，

所以[（1-x）2+（1-y）2+x2+（1-y）2+（1-x）2+y2]

[+][x2+y2][≥22].

当且仅当[a//b//c//d]且[a，b，c，d]同向时，等号成立，

即当[x（1-y）-yx=0]，[xy-y（1-x）=0]，[x（1-y）-y（1-x）][=0]时，等号成立.

经检验知，[x=y=12].

故取等号的条件是[x=y=12].

点拨 [a1+a2+…+an≥][a1+a2+…+an]是[a+][b][≥a±b]的推广，而本题求解依据是[n=4]的特殊情况.

利用向量不等式[a-b≤a±b]解题

例4 已知函数[f（x）=1+x2（x∈R）]，当[a≠b]时，比较[f（a）-f（b）]与[a-b]的大小.

解析 设[p=（1，a），q=（1，b）]，

由[p-q≤p-q]知，[1+a2-1+b2≤a-b].

又由于[a≠b]，所以上述等号不成立.

所以[1+a2-1+b2

即[f（a）-f（b）<][a-b].

点拨 不等式[a-b≤a±b]的实质是“三角不等式”的几何表现形式，与[a+b≥a±b]一样，其现实意义是：三角形任意两边之和（差）大于（小于）第三边.

解决不等式恒成立问题

例5 已知当[0≤a≤4]时，不等式[x2+ax>][4x-3][+a]恒成立，求实数[x]的取值范围.

解析 当[0≤a≤4]时，[x2+ax>4x-3+a]恒成立.

即当[0≤a≤4]时，[（x-1）（x-3）+a（x-1）>0]恒成立.

令[a=（x-1，x-1）]，[b=（x-3，a）]，

亦即[0≤a≤4]时，[a?b>0]恒成立.

也就是向量[a，b]夹角恒为锐角或零角.

由于[a=（x-1，x-1）]在第一象限（当[x≥1]时）的平分线上或第三象限（当[x<1]时）的平分线上，

而[b]在上半平面含[x]轴上（如图），

结合图形可得，[x>3和x<-1].

点拨 不等式[a?b>0]恒成立[?][]恒为锐角或零角.

向量不仅仅是知识，更是有力工具，与其说我们学习向量知识，不如说我们学习向量方法. 在处理有关不等式问题时，特别是含有乘积之和或乘方之和的不等式，通过构造恰当的向量，往往可以起到化繁为简、化难为易的效果.

[练习]

1. 已知[a>0， b>0， c>0]，函数[f（x）=|x+a|+|x-b|][+c]的最小值为4.

（1）求[a+b+c]的值；

（2）求[14a2+19b2+c2]的最小值.

2. 设[x，y，z∈R]，

求证：[x2+y2+y2+z2+z2+x2≥2（x+y+z）].

[参考答案]

1. （1）[a+b+c=4] （2）[87]

2. 简证：设[a=（x，y），b=（y，z），c=（z，x）]，

因为[a+b+c≥a+b+c]，

所以[x2+y2+y2+z2+z2+x2]

[≥2x+y+z≥2（x+y+z）].