中职数学实践活动系统思考之浅谈

刘传富

“系统活动思考”源于彼得·圣吉所著的《第五项修炼——学习型组织的艺术与实务》，彼得·圣吉所说的第五项修炼指的就是系统思考，系统思考简单的说，就是用系统的、整体的、全局的思维方式思考解决工作生活中遇到的问题.用“系统活动思考”的观点审视中职数学教育面临的现状，可帮助我们认清整个变化形态，“纵观全局掌握重点”，通过对整体的合理把握，追求中职数学教育效益最大化.中职数学实践活动系统思考是为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础；同时也为发展学生勇于探索、勇于创新的科学精神作有益的尝试.

活动内容：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如下正方形：

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5…个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④…相应矩形的周长如表1所示.

若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是________________________________________.

评析 首先由该组数的规律我们可以写出它的前11个数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，再由构造矩形的规律不难发现序号为⑩的矩形右边是边长为89的正方形，而整个矩形的长为55+89=144，宽为89，故其周长为2（144+89）=466.

斐波那契发现的这组数，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.通项公式是

Fn=15[（1+52）n-（1-52）n]

（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）.比较有趣的是：一个完全是自然数的数列，通项公式竟然是用无理数表示的.斐波那契数列又称为“兔子数列”，是因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的.兔子在出生两月以后，就会有繁殖能力，正常情况下一对兔子每个月就会生一对兔子，假设没有兔子死亡，那么一对新出生的小兔子一年以后可以变成多少对兔子？分析如下.第一个月没有繁殖，就是一对兔子.第二个月则生下一对，总共就是两对.三个月后，老兔子又生一对，小兔子没有繁殖，就是三对.四月后，老兔子生一对，小兔子生一对，那一共就是五对.以此类推得出一组数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…此数列很明显，那就是前面相邻两项和，构成了第三项.

斐波那契数列在数学方面的应用也很广泛.

例1 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法…，得1，2，3，5，8，13，21，…所以，登上10级台阶总共有89种登法.问题拓展：如果规定每一步只能跨一级或两级或三级，那么答案又是多少呢？类似于上面分析：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有四种登法；登上四级台阶，有七种登法…，得1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，…从第四个数开始，每个数都等于它前面三个数的和.所以，登上10级台阶总共有274种登法.

变式一 一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳0.5米，或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法？ （共有89种）

变式二 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？（共有927种）

例2 三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系.现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为________________________________________.

分析 由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边.截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10.我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了.这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系.

斐波那契数列不仅应用广泛，而且还有很多奇妙有趣的属性：如属性1.与黄金分割的关系：当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近1.618.前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，所以极限是黄金分割比..属性2. 连续10个斐波那契数之和等于第7个数的11倍.属性3.任意两个连续的斐波那契数的平方和还是一个斐波那契数.属性4.从第二项开始，每个序号为奇数的项的平方都比前后两项之积多1，每个序号为偶数的项的平方都比前后两项之积少1. 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1.

“系统活动思考是一扇重新看世界的窗”， 用“系统活动思考”的观点检视、分析当前中职数学教育过程中面临的困难与问题，谋划中职数学教学改革，能使我们在现代职教体系中准确定位，从而使中职数学教育在“山重水复”中“柳暗花明”.