对高中数学解析几何中对称问题的分析和研究

作者简介：周奥轩（1999-），男，汉族，山东莘县人，聊城市第三中学学生。

摘 要：随着教育事业的快速发展，高中数学教学中解析几何对称的问题愈发引起教师和学生的重视。高中数学对称问题是学习几何的基础，无论是点与点之间的对称还是线与线的对称，都是学生在学习几何的基础知识。本文主要对高中生在几何解析中遇到的对称问题进行了详细的分析，并结合基础知识点进行了全面的探讨。

关键词：解析几何；对称问题；分析；研究

中图分类号：G634文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）02-0059-01

对称点以及对称直线的求法一直是学生学习高中几何中的难点。很多学生未能将对称的知识运用到解题之中，从而难以达到举一反三的效果。所以高中生在进行几何解析的过程中应当树立一种对称的思想意识，将点的对称，线段的对称以及平面的对称融入到解题中去。

一、高中数学解析几何中关于点的对称

1.解析几何中点对称的定义

在解析几何中，尤其是立体几何，我们通常需要建立空间直角坐标系，在坐标系中，如果把点P（a，b）看作是X轴线上的一点，那么关于Y轴的对称坐标就为P（-a，b），关于X轴线的对称坐标为（-a，-b）。在不考虑Z轴的平面直角坐标系的前提下，通常其在第一象限的对称点坐标为（+，+）、在第二象限的对称点坐标为（-，+）；在第三象限的对称点坐标为（-，-）；在第四象限的对称坐标为（+，-）。所以点的对称会根据坐标系原点的变化而有所改变。但是它在四个象限中的对称符号却始终不变，这也是高中生运用对称点解题的基础。

2.点对称关于直线的解析

在一般情况下，我们会把一个直线Y用解析式来表示，具体表现为：Ax+By+C=0。在解析几何中，我们通常需要求取直线Y关于原点的对称点。所以根据惯性思维，我们首先要确定一个点的坐标，可以设为：P（x，y）。这个点如果在第一象限，那么其关于原点的对称点则必然在第三象限，可以设为Q（-x，-y）。又因为Q点也在直线Y上面。所以该点关于直线的对称方程为A（-x）+B（-y）+C=0。其具体的简化方程式为Ax+By-C=0。点关于直线的对称在高中数学解析几何中应用的十分广泛。在具体的解题过程中，其还能起到一题多解的效用，而学生在运用对称知识解题的过程中，也能不断强化自己的逻辑思维能力，从而让自身在几何解析中更加游刃有余。不仅如此，这种举一反三的解题方法在例题中也有十分直观的体现。

例如：直线l1关于某一点M（x0，y0）的对称直线l2。它的求法分两种情况：1、当M（x0，y0）在l1上时，它的对称直线为过M点的任一条直线。2、当M点不在l1上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线l2上任取一点P（x，y），则它关于M的对称点为Q（2x0-x，2y0-y），因为Q点在l1上，把Q点坐标代入直线l1中，便可得到l2的方程。解法（二）：在l1上取一点P（x1，y1），求出P关于M点的对称点Q的坐标。再由Kl1=Kl2，可求出直线l2的方程。解法（三）：由Kl1=Kl2，可设l1：Ax+By+C=0关于点M（x0，y0）的对称直线为Ax+By+C'=0且Ax0+By0+CA2+B2=Ax0+By0+C'A2+B2求设C'从而可求得对称直线方程。

3.曲线与点的对称关系

曲线的对称在高中解析几何中通常运用的不多，其更多的是运用于二次函数以及微积分对称点的求解上。如果把曲线L1：f（x，y）看作是一条曲线，那么就可以把P（a，b）看作是曲线上面的任意一点。根据对称的原理，P点关于M（x0，y0）的对称点（2x0-x，2y0-y）在曲线f（x，y）=0上。故对称曲线方程为f（2x0-x，2y0-y）=0。

二、高中数学解析几何中关于直线与点的对称

1.点关于直线的求解方程

在一条直线中，我们通常表示为L：Ax+By+c=0.把P（a，b）看作是直线上的一点，我们通常需要求解的是其关于直线的对称坐标。这也是点关于直线的基础求解问题，如果我们将对称坐标设为P'，那么就可以用多种方法将这个问题求解出来：

解法（一）：由PP'⊥L知，KPP'=BA直线PP'的方程→y-b=BA（x-a）由Ax+By+C=0y-b=BA（x-a） 可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。解法（二）：设对称点P'（x，y）由中点坐标公式求得中点坐标为（a+x2，b+y2）把中点坐标代入L中得到A·a+x2+B·b+y2+C=0；① 再由KPP'=BA得b-ya-x=BA②，联立①、②可得到P'点坐标。解法（三）：设对称点为P'（x，y），由点到直线的距离公式有Ax0+By0+CA2+B2=Ax0+By0+C'A2+B2①，再由KPP'=BA得b-ya-x=BA②由①、②可得到P'点坐标。

从以上的三种解析中我们可以很清楚的看到，点对称在直线方程中的运用十分灵活。但是我们也要熟练的掌握各种对称的技巧。尤其是点对称的方程求解是高中数学解析几何中较为常见的问题，所以在进行求解的过程中，我们首先应当对各种公式进行熟练的掌握，然后结合对称的概念以及坐标系中对称的特点，将直线方程快速而且准确的求解出来。

2.直线与直线的对称

直线与直线之间的对称方程相对于直线与点的方程而言较为复杂。直线的对称通常可以分为两种情况。其一就是当两条直线处于平衡状态时，也就是L1∥L∥L2时，我们如果要求解其对称直线的坐标，首先要求解关于直线L的对称坐标。而且还要在直线L1上任意的取一点C（a，b），这样就可以采用等效替代的方法，得出Pl1=Pl2，从而将L2的直线方程较快的求解出来。其二就是当两条直线不相交时，我们可以假设两条直线相较于一点，我们把该点坐标定为A（X，Y）。可以联立两个二元一次方程式，将坐标A求解出来。然后在另外一条直线L2上取一点B。然后将A、B两点的坐标代入到直线方程中就能将线与线的直线方程有效地求解出来。

由此可见，在进行高中几何解题的过程中，将对称思想运用其中，不仅能够让我们解题思路更加清晰，还可使答题的效率得到有效提升。

三、结语

高中数学解析几何中的对称问题是高中数学的重要组成部分，学生在学习的过程中，应当从对称的定义出发，将各种对称知识进行熟练掌握，同时还要注意反思和总结，在运用对称知识解题时，要学会一题多解，从而让自己的解题思维更加丰富，更为清晰，最终全面提升我们的综合学习能力。

（作者单位：聊城市第三中学）

参考文献：

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