《圆》课程难度变化及其对教学指导的探究

施学星

【摘要】本课题组成员郑泽娜借助史宁中教授等人的课程难度量化分析模型撰写了文章《圆课程难度的定量分析比较》，并发表于《数学学习与研究》杂志.本文在上述文章的基础上，进一步探究我国2000年的《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）与2011年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）圆课程难度的变化对初中教师的教学实践的指导.

【关键词】圆；课程广度；课程深度；实施时间；课程难度；教学指导

【基金项目】2015年度广东大学生科技创新培育专项资金项目：基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究（课题编号：201410578047）.

教学启发

基于《圆课程难度的定量分析比较》可知，与《大纲》相比，《标准》中圆的课程内容难度大大减小了.由于《大纲》和《标准》中该模块的课程广度、课程深度和课程实施时间均发生了较大的变化，以下将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间和总体课程难度变化四个方面对教学实践的启发和指导.

（一）课程广度变化对教学实践的指导

基于《圆课程难度的定量分析比较》可知，《大纲》中圆课程内容的知识点合计37个，取综合的课程广度系数为G1=37；《标准》中圆课程内容的知识点合计24个，取综合的课程广度系数G2=24.

《标准》中该模块的课程内容与《大纲》中的相比，变化幅度比较大.诸如弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、两圆的连心线、公切线性质等知识点，原本在《大纲》中是很重要的内容，但在《标准》中已经没有这部分的内容.而《标准》中也增加了一部分的知识点，如：直角三角形斜边中线的性质，确定圆的圆心，过圆外一点作圆的切线等.

教师在具体教学实践中，要注意把握好教学要求，紧紧围绕新的教学要求.教学内容应当限制在《标准》所出现的范围，教学中不要再拣回那些已经被删除的内容以及其延伸出来的题目，特别是那些怪题、难题，以免增加学生的负担，影响学生对基础知识的学习.现以《大纲》中圆课程的经典例题为例.

例1 “已知PT切圆O于T，PBA为割线，叫OC于D，CT为直径，若OC=BD=4 cm，AD=3 cm，求PB的长.”

例2 “证明：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦（连心线：连接两圆的线段）”

例1要求学生在掌握运用相交弦定理、切割线定理求得各线段数量关系的基础上，再利用勾股定理求得答案，题目中所运用到的相交弦定理、切割线定理在《标准》中已经被删除，所以这一类题目都不应再继续讲解.而例二不只是简单呈现圆心距与两圆半径大小，而是要求学生在掌握判断两圆位置关系的基础上，学会如何利用圆与圆的位置关系来证明两圆位置连心线，公共弦的位置关系，题目对学生来说具有一定难度，所运用到的两圆的连心线、公共弦与《标准》中的教学要求不一致，也不应再继续讲解.

（二）课程深度变化对教学实践的指导

基于《圆课程难度的定量分析比较》可知，《大纲》中圆课程内容对应的课程深度值合计78，故取综合的课程深度系数为=78；《标准》中圆课程内容对应的课程深度值合计55，故取综合的课程深度系数为=55.

《标准》对《大纲》中该模块的知识点进行了较大规模的删除，如弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、两圆的连心线等，同时也增加了一些知识点，如确定圆的圆心等，而保留下来的知识点深度要求也普遍有所降低，如圆的切线的判定、切线成定理等，进而使得知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点深度降低，降低了总体的课程深度.

因而，教师在进行教学的过程中应当扣紧新的教学要求，针对标准的知识点进行课堂教学，不要再讲已经删除的知识点及其延伸出来的题目，而深度降低的知识点延伸出来的难题、怪题也不要再继续讲解.教学过程中像一些圆的有关性质以及相关结论的证明，这些应控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度以内，对于学有余力的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题.还有，教师应让学生多动手多动脑，加深学生对基础知识点的理解与掌握，结合一些实际问题，使学生实现由具体到抽象，特殊到一般的认识上的飞跃，培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力.现以《标准》中的一道经典例题为例.

例3 “已知两圆半径之比是5∶3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24，5，20，0时，相应两圆的位置关系如何”.

例3只要求学生掌握判断两圆位置关系，只要知道圆心距d与两圆的半径大小，便可判断两圆的关系，解题思路简单清晰，考查学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力，不像上述例二，不仅仅要求学生掌握判断两圆位置关系，还需要运用两圆位置连心线，公共弦的位置关系.所以教师在教学过程中应当围绕新的教学要求，积极引导学生动手动脑，培养学生的空间想象能力，动手能力，分析、概括等理性思维的能力.

（三）课程实施时间变化对教学实践的指导

基于《圆课程难度的定量分析比较》可知，《大纲》下的教科书中圆课程教学安排30个课时，故取综合的课程时间为T1=30；《标准》下的教科书中圆课程安排20个课时，故取综合的课程时间为T2=5.相比于《大纲》，《标准》中该模块的课程实施时间减少了10个课时，但由于课程广度与课程深度的大大减小，使得教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析.部分知识点的删除，这启发着教师在课程教学中切勿将时间浪费在已被删除的知识点及其延伸出来的题目，而应紧紧围绕《标准》的教学要求，将时间用在新教学要求内容上.

另一方面，新标准和新要求，学生的学习主动性增强了，学生活动多了，教学进度就会受到影响，而课程实施时间的减少，也启示着教师在具体实践教学中应分析学生、分析教学内容、分析课程标准和分析教学目标，并且改变教学观念、教学方法，运用现代信息技术，以此提高课堂的教学效率.且在时间允许的情况下，完成《标准》中的许多探索将对学生更好的掌握知识有着很大的帮助，从而培养学生的发散思维能力和推理能力.

（四）课程难度变化对教学实践的指导

基于《圆课程难度的定量分析比较》可知，《大纲》和《标准》中圆课程的综合课程难度分别为，（其中，α=0.6）.相比于《大纲》，《标准》中圆总体课程难度系数大大降低了，即该模块的课程难度大大降低了.课程广度、课程深度、课程实施时间三个方面的变化，归根结底就是课程难度的变化.基于上述分析可知，相比于《大纲》，《标准》中圆课程中知识点的进行了较大规模的删除，使得课程广度大大减小，知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点减少；深度方面也大大地降低，而课程实施时间的变少，最终总体课程难度也降低了.

《标准》的课程内容增强了对课程目标服务的选择性，为数学教学内容指出了方向，根据时代发展要求，删除了一些不常用和难度较大的知识点，诸如相交弦定理、切割线定理、公切线性质等知识点，使得教育面向全体学生，减轻部分学生过重的学习负担.在知识点掌握上旨在扩宽学生的见识面，增加了与现实生活和科技发展相需求的知识点，如：确定圆的圆心、过圆外一点作圆的切线等，体现了新课标理念，数学与实际相联系，最大程度地发展学生用数学，在学习中提高自己的操作能力，体会数学从生活中来，最终服务于生活.在新课程的潮流下，广大的教师在实践教学中都应有所调整，不能“教新的，不忘老的”，尤其是一些年龄较大的教师，不能顺着老思路，讲解被删除的知识点及其延伸出来的题目，应紧扣新的教学要求进行具体的实践教学，让学生多动手多动脑，加深学生对知识点的理解与掌握.该部分题目也相对以前比较复杂，教学时应注意多帮助学生复习之前所学的有关知识，做到以旧带新、新旧结合，并且要加强解题思路的分析，帮助学生掌握由具体到抽象，特殊到一般的思想方法.教学时，选择一些实际问题，引导学生加以解决，帮助学生从生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题，提高他们应用知识解决问题的能力，并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力.在课程时间方面，教师在面对不同程度的学生时，应准确的理解新课程理念，学会运用恰当的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习主动性，并在较短的时间里把知识讲清楚，使学生掌握接受所学知识.

【参考文献】

郑泽娜.圆课程难度的定量分析比较 [J].数学学习与研究，2015，（9）：38～39.