数学：不妨给学生一场“逻辑的盛筵”

张鹤

北京高考试卷的命题者们是站在数学思维的高度向我们每一位中学数学教师展示他们是如何认识和理解中学数学教学的。2016年北京数学高考试题再一次向我们揭示出数学教育的目的：要培养会独立思考数学问题的人、掌握解决数学问题一般方法的人、能够享受数学逻辑之美的人。

让学生从数学角度理解问题本质

北京高考试卷的第8题历年都是一个考查学生逻辑思维能力的题目，它不以计算能力的考查作为命制试题的目的，而是“多考思维，少考计算”——北京卷的一大特色和亮点。这些考题的一个共同点是：提供一个问题的背景（有数学方面的，也有实际生活情境），提出一个具有探索性的问题。学生若要解答这一类问题，需要能够在理解问题背景的前提下探索问题的规律与本质。这类问题关注的是学生理解问题、分析问题与解决问题的能力，需要学生具备研究问题的意识，需要学生的数学思维具有逻辑性，需要学生能够综合运用所学的数学知识解决问题。综观历年的数学高考第8题，2011年理科卷考察的是平行四边形内部的整点个数问题，文科卷则是以抛物线为背景、以三角形的面积为定值的三角形的顶点个数问题；2012年是果树年平均产量问题；2013年的数学高考结合正方体，文理科分别设置了不同的数学问题让学生去探索；2014年理科卷是成绩评定问题，文科卷则是爆米花最佳加工时间问题；2015年理科卷是汽车的“燃油效率”问题，文科卷则是汽车平均油耗量问题。今年的第8题仍然注重结合实际情境考查学生的逻辑推理能力。文科试卷的第8题选择学生熟悉的学校运动会的立定跳远和30秒跳绳为问题情境，理科试卷的第8题情境则是学生在解决概率问题中经常遇到的摸球游戏。

可以看出，今年的北京卷第8题没有给考生设置什么深奥的、抽象的数学背景，反而是以学生都能理解的实际问题或熟悉的数学对象作为铺垫，简洁地陈述问题，以便学生能够自然地将实际背景转化为数学问题。解决这个问题的关键在于学生要能够从数学思想与观点的高度理解问题的本质，而这正是数学教育所承担的使命。

从第8题反观我们当前的数学教学，不得不承认，我们的学生缺少经历思考问题、解决问题的过程，缺少从实际问题出发提炼出数学问题的体验。反思我们自己编制的一些试题或练习题时，还发现我们缺少一种灵气，没能更好地让学生从解决问题中感受逻辑思维的力量。这其实是北京高考试卷第8题带给我们的启示，或者说是树立的一个追赶的目标。

让学生建立数学学科思维

北京高考试卷的第14题关注对数学本质的考查，关注学生对数学学科思维特点的认识和把握。这七年来，北京卷的第14题一直让我们感受到数学问题本身所带来的精神愉悦，让我们体会到数学教学所应该达到的境界。可以看出，今年的14题继承了2010年以来的北京数学卷第14题的特点，准确把握了数学学科的思维特征与研究方法。

我们以理科的14题为例，这道题目是通过所给出的一个分段函数的性质来确定与自变量x取值有关的参数取值范围。可以看出，题目要考查的是学生能否从函数解析式中得到函数的性质，以及是否能运用函数的性质解决问题。从对学生的能力要求来看，我们的教学要能够达到这样的目标：学生要有能力研究出一个确定的函数解析式的最基本的性质，并能够把这些性质通过函数的图象体现出来；如果给一个带参数的函数解析式，也就是还没有确定的函数解析式，学生要知道如何根据函数图象的几何特征去确定参数的范围，从而确定函数的性质。学生面对明确的函数的解析式往往只会把它作为计算函数值的一个公式，没想过通过这个解析式研究函数的性质，而对于不确定的函数解析式，对于还在变化中的函数图象，学生遇到的困难会更大。如果我们的学生经过近一年的复习还没有确立研究问题的意识，还没有掌握研究函数的基本方法，今年的第14题，包括今后的第14题，对学生而言都会是一道难题。

教师最重要的职责是让学生学会思考数学问题并解决数学问题。而要落实这一点，就应该让学生学会从最基本的数学概念出发去理解数学问题；从数学问题的本质上去思考数学问题；用符合研究数学问题的一般方法去解决问题。北京卷的第14题（包括解答题的函数题：理科18题，文科20题）带给我们教师的启示是：函数教学（包括函数复习）最重要的任务之一就是要培养学生研究函数性质的意识及方法。要让学生树立研究性质的意识，关键在于教师提供复习素材，在学生的复习偏离正确轨道的时候，及时地进行纠正并给出有针对性的指导。

让学生掌握解决数学问题的基本方法

一份好的数学试卷往往把考查的重点放在考生是否真正地掌握了数学学科的思维特点、是否掌握了数学学科的思维方法和解决数学问题的基本方法上。2016年的北京高考试卷就是如此，以下结合立体几何试题的考查特点进行分析。

这份试卷对立体几何的考查目标非常明确，就是要检验考生的立体几何的思维是否落实。空间想象能力不能简单地理解为识图能力或观察能力，它是一种数学的思维能力，这种能力体现在学生对空间中几何元素点、直线、平面及由这些基本元素所构成的空间几何体的位置的确定。如理科试卷的第7题给出了某三棱锥的三视图，求该三棱锥的体积。这看似是一道计算题，但是要算出这个三棱锥的体积，学生首先要知道这是一个什么样的三棱锥。而判断的依据仅仅是这个三棱锥的三视图（三视图由三个平面图形组成，是从三个方向对空间几何体进行投影所得到的）。学生需要从三视图中分析三棱锥的几何特征，也就是构成这个三棱锥的点、直线、平面的位置关系，从而得到它的直观图。尽管这个思维过程本身非常抽象并且具有一定的难度，但是将三棱锥的体积这样一个非常具体的数据作为评判的依据，有效地考察了学生的思维能力。

从七年来的北京试卷看，运用三视图来考查学生的立体几何的思维能力一直是高考命题者们的目标。如2010年的试题，题目给出了一个长方体去掉一个小长方体之后的正视图和侧视图，让学生从四个选项中找到这个几何体的俯视图。显然，解题的关键在于考生要能够结合题目对几何体的几何特征的基本描述以及三视图中的两个平面投影图形，抽象得出这个几何体的直观图，进而找到其俯视图。2015年的第5题与今年的第7题类似，是通过一个三棱锥的三视图求其表面积，只不过从几何体的特征看，今年的三棱锥的几何特征更复杂一些而已。同样，今年文理科的立体几何解答题考查的都是通过一个明确了部分几何特征与数量关系的四棱锥，让学生在此基础上进一步研究这个几何体的其它几何特征与数量关系。

一些学生在解答立体几何题的时候，常常是匆匆扫一眼题目的条件，对所要研究的几何体还没有太深刻的思考就开始解答题目。由于缺乏对几何体的整体分析，很难对所面临的问题有一个圆满的解决方案。这次立体几何解答题进一步明确了立体几何教学的方向和目标，那就是：教师应该以空间几何体为载体，帮助学生掌握研究几何体的基本方法：首先从围成的空间几何体的面去分析是什么样的平面图形，侧面与底面具有什么样的位置关系，侧棱与底面具有什么样的位置关系，进而分析空间几何体中比较重要的截面与其它面之间的位置关系、几何体的棱及体对角线之间的位置关系等。要让学生体会到，研究空间几何体的重要前提，是对于空间几何体的线、面位置关系能够进行比较细致的研究并做出准确的判断。

通过对今年北京高考数学试卷的分析，我们得到的最深刻的感悟是：要提升高中数学课的教学质量，我们要有理性，要有逻辑，要让我们的课堂充满智慧。课堂教学一定要能够揭示出数学的本质，要能够从观念上启发学生去深入地、科学地思考数学问题；要让学生能够领悟到学习数学不是靠记忆，学得好不好与记不记得住公式没有必然的联系。作为教师，我们一定要清楚：要想取得好成绩，需要保证每一节课的高质量；要提高学生的数学思维水平，让学生享受数学的逻辑之美，需要保证教师教学的思维含量。