在证明数列题中应用数学归纳法的研究

李欣雨

摘要：在高中数学题中，数学归纳法是非常常见的方法，尤其是在解决数列问题时得到广泛应用，目前，很多学生缺少对数学归纳法的理解，在数列问题中也很少主动应用该方法，严重影响了学生的学习效率。本文对数学归纳法的含义进行了系统阐述，针对在证明数列题中如何应用数学归纳法提出了切实可行的方法，并结合实例进行详细论证，希望能对同学们数学学习有所帮助和启发。

关键词：数学归纳法；数列题；论证

中图分类号：G634文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0026-01

数学归纳法是高中数学课程中所学习的一种非常重要的方法，能够快捷条理的解决所遇到的数列问题，但目前，很多高中生在解决数列问题时很少主动采用数学归纳法，主要原因还是他们对数学归纳法的理解程度不够，难以熟练灵活的运用数学归纳法。因此，找出数学归纳法在数列问题中运用的原理和规律迫在眉睫，必须予以高度重视，恰当运用数学归纳法在数列问题中运用的原理和规律能够有效调动我们应用数学归纳法解决问题的积极性和主动性，有效提高我们学习数学的效率，能使学习达到事半功倍的效果。

一、数学归纳法定义

数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明在局部或整个自然数范围内某一个给定的命题是否成立，在数论中，数学归纳法主要是通过不同的方式证明无穷序列情形（第一个，第二个，第三个……第N个，一直下去无例外）都是正确的数学定理。

在数列题中比较常见的数学归纳法应用情形是证明N值等于任何一个自然数时整个命题成立。证明过程主要包含两部分：首先，证明n等于1时命题是成立的，其次，假设n等于m（m为任意自然数）时命题成立，从而推断出n等于m+1时命题也是成立的。原理就是先证明起点值是成立的，再证明从一个值到下一个值的过程也是成立的，只要满足这两点，就可以证明所有自然数都能够适用于这个方法，从而运用此方法解决问题。

二、在证明数列题中数学归纳法的应用

1.先猜想再假设，最后证明结论

本质上来讲，数学归纳法是一种归纳与递推的数学思想，是通过演绎法去解决无穷问题所采用的一种工具，有了前面的P（n），必然会有后面P（n+1）的证明过程。

以2014年广东省高考题为例进行应用分析：

题目：设数列{}的前n项和为Sn，满足 = -3-4， ∈ N*，且S3 = 15，

（1）求a1，a2，a3的值

（2）求数列 {} 的通项公式

解析：第（1）题为常规题，通过已知条件就可以将前三项的值分别计算出来，即 a1 = 3，a2 = 5，a3 = 7。第（2）题中，我们已经知道了数列前项和之间的关系，这样就可以通过和的关系式来解答：

在解答过程中运用数学归纳法来验证：

= 1时，结论成立；

假设= （ 1）时， = 2 + 1，

= 3 + 5 + 7 +…+ （2 + 1） = = （ + 2）

又因为 = -3-4

所以 （ + 2） = -3-4

即 = + 6 → = + 1

所以 = +1 时，结论成立

这样就可以得出 {} 的通项公式： = + 1， ∈ N*

在解题过程中通过猜想与假设，再加上数学归纳法的特点，借由 = 的情况推出 = +1的情况，一步步将结论证明出来，即方便快捷又条理清晰。先猜想再假设最后证明结论，这种数学归纳法的解题套路是一样的，通过假设某一个条件，使后面证明的结论更加简单，这就要求我们必须认真思考题目中已知的条件，从题目中获取信息做出正确的猜想，只有这样才能最终得到正确的结论。

以2014年安徽省高考题为例进行应用分析：

题目：设实数 > 0，整数 > 1， ∈ N*，证明：当x > -1且x ≠ 0时，>1+px。

虽然这道题不是像我们熟识的其他题目一样用 和 来表示，但本质上来说是一样的，用数学归纳法来解答时步骤如下：

当p = 2时， = +2x+1>1+2x，此时不等式成立；

假设p = k，不等式> 1+kx 成立，那么当p = k+1时，则

= （1+x）>（1+kx）（1+x）= +（1+k）x+1 > 1+（1+k）x

因此，当x > -1且x ≠ 0时，整数 > 1，>1+px都是成立的。

2.加强命题后再用数学归纳法证明

以2008年辽宁省高考题为例进行应用分析：

题目：在数列{}，{} 中， = 2 ， = 4，且，，成等差数列，，，成等比数列（ ∈ N*）

（1）求，，及，，，由此猜测{}，{} 的通项公式，并加以证明

（2）证明： + + +…+ <

在第（2）题中右边的式子和 无关，不能直接采用数学归纳法，但可以先加强结论再用数学归纳法证明。

当 = 1时， = = < ，不等式成立

这时候用数学归纳法证明，当时， + +…+ < -

由第（1）题可以得出 + = ， = 2时结论成立。

假设 =时结论成立，

当 =+1时， + +…+ + < - + < - + = - = -，因此，当 =+1时，结论也成立。

也就是说，当 时， + + +…+ < 恒成立，

因此， ∈ N*， + + +…+ < 命题成立。

结语：

综上所述，在高中数学课堂中，数学归纳法是学生必学的一种方法，熟练掌握数学归纳法能够帮助学生快速且条理的解决数列论证问题，但目前，由于学生缺乏对数学归纳法性质的理解，难以熟练掌握数学归纳法，在数列问题中也很少主动采用数学归纳法解决问题，这对高中生的学习效果非常不利。因此，我们必须掌握数学归纳法的本质，举一反三，尝试在不同情形下运用数学归纳法，对于常识性的问题可以先猜想再假设，最后证明结论，对于较为复杂的问题，可以加强命题后再用数学归纳法证明。在掌握方法的同时，还要通过实例加以实践巩固，熟练掌握数学归纳法，在数列问题中主动应用，提高做题速度和效率，使数学教学效率事半功倍，进一步提高高中学生的综合能力。

（作者单位：聊城市第三中学）

参考文献：

[1]买买提阿不拉·阿吉.关于数学归纳法教学[J].和田师范专科学校学报，2004（02）.

[2]杨德敏，龙朝阳.浅析使用数学归纳法中的逻辑错误[J].安顺师专学报，2000（02）.

[3]谭兴华.“小数尝试法”在数学归纳法中的运用[J].和田师范专科学校学报.2011（05）