认知系统的逻辑秩序：让学习真正发生的“道”

【摘 要】理解性学习是让学习真正发生的基本要素，而数学实验正是实现理解性学习的一种方式。从数学实验的视角，构建认知系统的逻辑秩序，是让学习真正发生的“道”。这里的逻辑秩序包括基础性的知觉目标、层次性的变异思维、概括性的具身经验以及科学性的审美关系，它们分别是让学习真正发生的“频道”、“通道”、“跑道”和“航道”。

【关键词】初中数学；数学实验；逻辑秩序；认知系统

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）33-0023-04

【作者简介】孙朝仁，江苏省连云港市教育科学研究所（江苏连云港，222006）所长，正高级教师，江苏省特级教师，初中数学实验手册副主编。

“让学习真正发生”，这是第11届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动的主题。笔者有幸聆听了几位苏派青年教师的课堂教学，在领略了苏派青年教师教学风采的同时，也一直在揣摩这一主题的真实内涵。我们知道，学生是教学过程中的主体，“教学从学生出发”是课堂教学最重要的特征之一。但是，受学科特点的影响及呈现形式等因素的制约，教材通常是以静态的方式直接呈现知识结论，这些结论对于成人来讲是很容易理解的，但对学生来讲，却不容易理解。毋庸置疑，不理解性的学习，就不可能深入学科的本质，也不可能触及学生的心灵，更不可能促进学生对于知识的持续建构，这样的学习一定不会真正发生。因此，笔者认为，理解性学习是让学习真正发生的前提。

从数学学科来说，由于其“高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性”而显得学习“枯燥无味”，学生的学习便不会真正意义上得以发生。基于此，在传统的数学课堂教学中，引进数学实验这一学习方式可以助推学习的真正发生。数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动。可以说，数学实验充分突出了“智者明‘法，慧者通‘道”的学习秩序与法理，是数学理解性学习的基本方式。“明法”就是合目的性、合规则性、合法理性；“通道”就是学习范式符合“道”的要义（一生二、二生三、三生万物）。换言之，数学实验是打通让学习真正发生的“道”。这里的“道”就是构建认知形态系统的逻辑秩序，关乎知觉认知目标的确立，关乎变异认知思维的激发，关乎具身认知经验的积累，更关乎审美认知关系的梳理。

一、知觉目标：认知形态系统的基础性逻辑秩序，找准让学习真正发生的“频道”

知觉是解释外界客体和事件产生的感觉信息的加工过程，是对现实的感性反映，具有整体性、恒常性、意义性和选择性特征。目标是课程的精神统领和行动指南，是教学设计与实施的思维线索。“经历”“体验”“探索”是对“做数学”行为目标的生动刻画，与知觉目标具有内部关系的一致性，反映初中段学生的感性思维好于理性思维的“思维事实”。数学实验突出“做”“视”“说”“用”的知觉特征，用“感知”“感受”“感悟”“领悟”等感官类动词刻画知觉目标。

梅洛·庞蒂从知觉现象学出发，认定身体是认识世界的通道，身体知觉具有认识世界的能力，是人认识世界的基点。[1]数学实验的本质就是通过身体“做”数学的行为获得对新概念、新原理和新方法的领悟与理解，因此，这样可以很好地找准让学习真正发生的“频道”。在“做”数学实验范畴，知觉目标涵盖“四个频道”：一是通过“观察”，感知概念的局部属性；二是通过“知觉选择”，感受概念的本质属性；三是通过“建立表象”，感悟概念的整体属性；四是通过“意义表征”，领悟概念间的内部关系。在课堂教学中，如果调适好这“四个频道”，不仅可以体现数学实验在数学教学中的补注作用，而且也可以发挥提升学生学力的功能，更可以构建知觉在学理意义上的逻辑秩序，“四个频道”协调运作，学习自然会真正发生。

以“认识简单几何体”主题活动为例：首先，让学生观察长方体，借此认识棱柱和棱锥，并根据图形特征进行分类；其次，让学生折叠棱柱和棱锥，并进行观察和描述；最后，以小组合作的形式进行集体活动，摸出指定的几何体并分工描述其特征。为此，确立的知觉目标是：学生通过对实物图片的欣赏和生活中物体的观察，抽象感知几何图形，会用数学的眼光观察世界；学生经历对几何图形的分类过程，感受立体图形和平面图形之间的区别，对几何图形的抽象有进一步的认识，会用数学的思维分析世界；学生经历折纸和摸几何体的数学实验，感悟立体图形和平面图形之间的内部关系，并通过小组合作，描述几何体的活动，领悟用几何语言表达世界的意义。

就主题活动的逻辑秩序来说，“观察”“欣赏”几何体行为是知觉认知目标的逻辑起点，“折叠”“描述”几何体行为是知觉认知目标的逻辑过程，“摸出”“表征”指定几何体行为是知觉目标的结果状态，反映认知形态系统的逻辑理序。就数学学习论来说，观察是知觉认知的逻辑基础，操作是知觉加工的逻辑手段，表征是知觉学习的逻辑通道，有了这些，学生对于“认识简单几何体”的学习才有了真正发生的基础。本次展评活动中，有一节“正方形中的45°美”的课，执教者通过“在正方形中旋转三角板”创设认知情境，找准了认知的逻辑起点，继而让学生自主寻找要探究的问题，完善了认知过程，最后让学生“学以致用”，反映了知觉目标的结果状态，“三位一体”奏出了“让学习真正发生”的和谐音符。

二、变异思维：认知形态系统的层次性逻辑秩序，构筑让学习真正发生的“通道”

变异思维作为数学命题认知的一种思维方式，得到马顿（Marton）变异理论的强有力支撑。[2]该理论的核心思想是“学习源于变异”，也就是说，变异（Variation）、审辨（Discernment）和同时性（Simultaniety）是让学习真正发生的基础要素，变异思维是学习的基本通道。而数学实验正是在突出概念变异、原理变异以及经验变异的审辨与同时性特征的基础上，形成概念法则的逻辑连贯性认识体系，进而促进心理概念图的建立和认知形态系统逻辑秩序的规范形成。

米山国藏的《数学的精神、思想和方法》一书从变异思维的逻辑出发，认定数学是由简单明了的事实与逻辑推理结合一步一步构成的。[3]这里的“一步一步”就是对变异思维的具体刻画，前“一步”思维是后“一步”思维的基础，后“一步”思维是前“一步”思维的变异，正因为如此，学生的学习在这“一步一步”的过程中得以真正的发生，实现学生接受“更好的教育”的质量目标也才能实现。[4]因此，我们规约操作范式逻辑秩序为：一是变异情境维度，突出概念审辨思维的立体迁移；二是变异问题发问方向，突出原理加工程序的概括性特征；三是变异经验现有发展区（由单称现有经验发展区到复称事实经验水平区），突出新旧经验的同时性重组与同时性改造的特征，以此构筑变异思维初始目标良性迁移的通道。

例如：在探索“基本图形性质”这一主题时，通过“折纸与证明”这一数学实验，突出变异思维特征，完成对“合情推理”认识的变迁，最终把握基本图形内部关系。具体活动安排如下。首先，实验目标是经历折纸过程，感受证明的必要性以及合情与演绎的内部关系，进一步发展合乎逻辑的思考秩序和有条理的表达能力。其次，让学生在折纸活动中，体验目标的适配性和可接近性。从三个维度进行思维聚焦：一是让学生用长方形纸片折出一个正方形，说明理由并进行可行的验证；二是让学生用长方形纸片折出一个菱形，并在说理的基础上验证结论的合理性；三是让学生用正方性纸片和长方形纸片各折出一个等边三角形，并在推演的基础上验证结论的可靠性。最后是让学生设计尽可能多的“‘做菱形”的方案，并探究如何用足够长的纸条折出一个正五边形。

目标是思维的依据，变异目标的确立为实验活动的逻辑展开提供了思维秩序，构筑了思维通道。如果说“折正方形→折菱形→折等边三角形”思维变化过程是情境变异思维秩序的集中表现，那么“变异目标的建立→变异问题反应块的组织→后实验方案的编制”的思维秩序，是程序性加工概念图得以建立的具体表现，而探究折正五边形的思维流变行为是变异经验发展区的内部秩序，反映了认知系统的层次性逻辑秩序，体现了程序性加工审辨的科学性以及信息流的适配性。本次展评活动中来自南京市莲花实验学校初中部的金明明老师执教的“平面图形的密铺”一课，就是让学生经历“选择一种形状、大小完全相同的正多边形进行密铺”到“从边长相等的正三角形、正四边形、正六边形和正八边形中选择两种合适的正多边形进行密铺”再到“用形状、大小完全相同的任意三角形、任意四边形进行密铺”这样“一步一步”的“变异”过程，既动手又动脑，真正学习自然发生。

三、具身经验：认知形态系统的概括性逻辑秩序，规划让学习真正发生的“跑道”

具身认知（Embodied Cognition）主张“认知是通过身体的体验及其行为活动方式而形成”。[5]这就强调人的身体在认知过程中起到了不可替代的作用。已有研究表明：身体的物理属性对认知的内容具有直接的作用，这种作用不仅体现在现实物质概念上，同样体现在抽象的理性概念上。[6]当然，这些抽象概念的获得与保持不完全依赖于身体的具身经验（感觉经验），这也是数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积累的逻辑根据。这里的“做”突出“现实物质概念”的本体特征，而“思考”侧重突出“理性概念”特征，从而形成具身经验产生式系统（做数学→理解数学→具身经验）。

在经典学习心理学理论中，大脑的学习方式主要可以分为两种：联想学习（associative learning）和观察学习（observational learning）。[7]把“神经学”借用到数学实验范畴，则可以把“观察学习”看作是“做”数学的逻辑手段，“联想学习”看作是“用”数学的逻辑思维，这也是让学习真正发生的两条“跑道”，缺一不可，需要我们科学地规划。这些经验性和拟经验性的逻辑秩序，内在地支配着认知形态系统的概括性能力。当然，观察学习始于现实经验，终于重组经验，对行为模仿、社会技能习得、文化传播以及价值观形成起到关键作用。联想学习始于定向经验，终于素养经验，对记忆、情绪、习惯以及奖惩系统的形成至关重要。因此，数学实验在具身经验层面的逻辑秩序可从三个维度进行规划：一是让学生在相似情境经验中，进行同化性具身实验；二是让学生在半开放问题解决中，进行顺应性具身实验；三是让学生在“中间变量”（机体的内部变化）的行为中，进行重组性具身实验，形成具身经验可靠性范式。

例如，在进行“估算”这一概念教学时，设计了易于实践的“折纸”活动，集中反映具身经验获得的逻辑秩序。具体流程概括如下：首先，让学生取出一张标准报纸，尝试对折8次，猜想、验证叠后报纸的厚度，并算出一张报纸的可能厚度；其次，让学生解决一张报纸连续对折30次后，其厚度的估计值，并与珠穆朗玛峰的海拔高度相比较；再次，让学生估计《数学实验手册》的厚度，并说明个体结论获得的过程；最后，让学生设计编制估算苏科版七年级《数学》上册教科书厚度的预案，以及如何估测该书100页、50页、10页和1页的厚度。另外，让学生逆向估计多少本这样的教科书垒成的高度才能为1米，并用1米高的课桌验证结论的接近度。

仅从具身认知逻辑秩序来说，“折→叠→猜测→估算→验证→比较”等具身认知行为，是同化概念经验的具体表现；“编制→估计→度量→推算”一本书的厚度、部分书页的厚度，是顺应概念经验的逆向思维表现；“估测报纸的厚度→估测手册的厚度→估测教科书的厚度”以及由“执行方案”到“制定、实施方案”是“中间变量”重组建立新经验体系的过程，反映具身经验在问题解决与提出中的改造作用。经历这样的反复认知与实践过程，在“观察”与“联想”这两条“跑道”上行进，学生对“估算”这一概念的学习自然是真正的发生。本次展评活动中的“函数”一课，执教者通过创设动态的“汽车加油”情境，让学生有“身临其境”的具身感，后续学习的通道自然打开。

四、审美关系：认知形态系统的科学性逻辑秩序，开通让学习真正发生的“航道”

审美是数学学习的开端，“哪里有数，哪里就有美。”（普洛克拉斯语）审美关系是直觉思维的表现形式，带有强烈的“天地与我共生，万物与我为一”的整体性特征。这就好比孩子认母亲，都是从“整体”来观察，可以说这种审美的整体性就是让学习（认知）真正发生的“航道”。数学实验是直觉思维的重要载体，能让学生在科学方法的选择中不断地发展审美逻辑秩序。数学实验的整体性表现在审美选择关系层面、审美建构关系层面以及审美逻辑关系层面，认证活动对象的整体属性本身就是审美关系科学建构的结果状态。庞加莱“从直觉是一种无意识思维活动的观点出发”，证实“在无意识的活动中，审美情感发挥着选择作用”，从而认定选择的直觉经常表现为美的直觉。[8]实践表明：让学习真正发生的“好课堂”“好念头”抑或是“好问题”往往带有数学审美特征。数学实验作为“好课堂”重视心理审美环境的建设，“数学实验室”的建立就是对环境审美的外化，“课题学习”就是好念头或好问题做出选择的心理范式，从这一意义层面来说，数学实验也是建立审美关系的“航道”，反映认知形态系统的科学性逻辑。

许多数学家从数学是艺术出发，认定一个科学理论成就的大小，事实上就是它的美学价值的大小；科学结论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它来判定科学方法的合理性。[9]在数学实验审美关系范畴，可以从以下三条“航道”直达美的直觉：一是变化问题情境，突出思维的相似性特征；二是变换问题角度，突出思维可辨性特征；三是变化监控方式，突出思维的独立性特征。

例如，为揭示“旋转不变”的逻辑属性，基于审美关系我们设置了“玩三角板”的数学实验，其基本流程如下——首先，让学生剪出一对全等的直角三角形纸板，并取其中一张沿直角顶点，经过两次折叠，折出一个45°角。其次，让学生（两人合作）将全等的等腰直角三角板按图1的方式放置，写出其中非全等的相似三角形以及线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由。第三，让学生按图2方式叠放正方形纸板和等腰直角三角形纸板，猜想线段BE、DF、EF之间的数量关系并说明理由；连接图2中的线段BD交AE于点M，交AF于点N，直接写出BM、MN、ND之间的关系。最后，让学生按图3的方式叠放全等的等腰直角三角板，并绕点P旋转，写出旋转过程中所有非全等的相似三角形，并说明理由以及写出可能存在的函数关系。

审美是自由的表征，是自由创造的途径和中介，是持续性学习（真正发生的学习一定是持续性学习）的润滑剂。“剪出→折出→叠放→旋转”行为动作是审美关系得以建立的直觉基础，突出情境相似性特征，反映认识形态系统的科学统一性；“单称相似变换→复称全等变换→复称相似变换”的直觉思维运动行为是审美关系建立的逻辑基础，突出“变换角度看问题”的审美意义，反映认识形态系统的可辨性特征；“不稳态二次数量关系→稳态一次数量关系→稳态二次数量关系→稳态函数关系”的审美行为是审美关系得以提升的逻辑秩序，带有强烈的独立性特征，反映数学实验在科学与审美范畴的共通性价值秩序。前文所提到的“正方形中的45°美”一课，其审美关系的建立也是可圈可点的，让学习真正发生的“航道”非常畅通。

综上，认知系统的逻辑秩序，存在于每一个具体行为的背后，揭示让学习真正发生的“道”。其中，知觉目标的确立是其逻辑根据，变异思维和具身经验是逻辑基础，审美关系是逻辑线索，四者共同作用，可使得学习真正发生。

【参考文献】

[1]杨晓.知觉教学：身体现象学对教学改革的启示[J].课程·教材·教法，2015（12）.

[2]王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2010：44.

[3]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986：56.

[4]杨孝如.“更好的教育”：基础教育发展的时代命题——专访江苏省委组织部副部长、中国教育学会副会长胡金波[J].江苏教育研究，2015（9A）.

[5]叶浩生.具身认知：认知心理学的新取向[J].心理科学进展，2010（05）.

[6]殷明，刘电芝.身心融合学习：具身认知及其教育意蕴[J].课程·教材·教法，2015（07）.

[7]陈巍，汪寅.基于镜像神经元的教育：新“神经神话”的诞生？[J].教育研究，2015（02）.

[8]萧柏荣.数学教育探索五十年[M].南京：南京大学出版社，2012：50.

[9]王钦敏.感受数学美的两个重要途径[J].数学教育学报，2014（02）.