认知负荷视阈下小学数学数量关系的教学

顾健

孔凡哲教授认为：数量关系是数学研究的核心内容之一。而如何促进学生对数量关系的意义理解？如何沟通看似分散、孤立的数量关系并内化为结构模型？这些问题都能用认知负荷理论做出很好的解释。

一、认知负荷的内涵诠释

通常，认知负荷被分为三类：内在、外在和关联认知负荷。内在认知负荷是由学习内容的难度水平导致的负荷，如“3+3=”和“3×3+2÷3=”的认知难度就不同。外在认知负荷并不是学习过程中所必须经历的过程，很多时候是一种无效认知负荷。比如，单纯的文字叙述比“文字+图片”形式带来更高的认知负荷。关联认知负荷则可以帮助学生自我调节、监控和分配认知资源以完成相应认知任务，能促进学生学习的进程。如“3×4”，教材呈现3个4相加和4个3相加，这时我们呈现矩阵模型与数轴模型，学生对图式的建构就更为完美。

二、数量关系教学的现状剖析

1. 类型多样———儿童相见不相识。

小学数量关系包括简单、复合数量关系及特殊数量关系。其中，复合数量关系是四种基本数量关系经过交错组合而成的复杂数量关系，它是一个从简单到复杂的变化过程。学生没有相应的认知资源分配策略，就造成认知负荷的产生。

2. 结构复杂———乱花渐欲迷人眼。

数量关系的表述依赖于文字的呈现与组织，文字组织的多样性使数量关系呈现复杂的结构。例如，①足球有100只，篮球是足球的3倍多13只，篮球有多少只？②足球有100只，足球是篮球的3倍多13只，篮球有多少只？两种表述对学生智力的挑战截然不同，第二种是对第一种的逆向变换，容易造成认知负荷的超载。

三、遵循认知负荷规律，催生教学有效策略

认知负荷理论被引入数量关系的教学中最为核心的是把握认知负荷的分类，可以从学习材料的结构性、教学设计的优化等方面有针对性地减少内在、外在认知负荷，发展和完善图式的构建，增加关联认知负荷。

（一）重组形式，重构教学，化“负”为“正”

内在认知负荷就其固有本质属性而言，的确难以改变。但是，可以围绕学生原有知识经验对其内容进行形式重组、重构。最终，确定合理的内容与方式进行教学。

1. 以“形变”为思维路径，识别“序”的架构。

数量关系的表述形式是认知负荷产生的主要来源。例如，形式1：读书节推荐阅读《窗边的小豆豆》，李悦原计划25天读完，实际比计划多用了6天，原计划每天读12页，实际每天读几页？形式2：读书节推荐阅读《窗边的小豆豆》，李悦原计划每天读12页，25天读完，实际比计划多用了6天，实际每天读几页？

很显然，形式2的信息排列要求先求出总量，再解决每份数，属于典型的归总关系结构。前两个信息满足“每份数×份数=总数”的基本结构，后两个信息是“较小量+相差量=较大量”的结构，学生可以依据信息顺序探寻解决路径。

2. 以“联系”为思维路径，洞察“联”的因果。

学生原有的知识储备具有普遍性和特殊性。在相同年龄、相同年级和一定区域的学生有着较为相似的心理特征与知识储备；而对于学生个体而言，各自又有着独特的心理规律与知识背景。

例如，在计算机领域里用min（a，b）来表示a、b两数中的较小者，而用max（a，b）来表示a、b两数中的较大者，就如min（4，5）=4，max（3，7）=7。请计算：min（2015，10）×max（20？郾15，8）。这道题将简单的倍数关系与定义新运算相结合，教师可以让学生通过自我解释，暴露知识经验，进而找到解决问题的策略。

（二）依托内容，优化媒介，化“难”为“易”

教学设计是造成学生外在认知负荷的主要原因，学习材料的呈现、媒体的运用、典型样例等越符合学生的认知水平，学生需要分配的注意就越少，外在认知负荷就会相应降低。

1. 依托内容“改一点”，削弱外在认知负荷。

依托原有问题，更换其中的单个条件，以成系列的方式将同一问题情境以题组形式呈现，可以帮助学生降低因加工不同问题情境而调动的认知资源。以部总关系为例，简单问题是“工人种松树40棵，种柏树80棵，种柏树多少棵？”如果按照相差关系进行变换，把松树这个条件变换为较小量，即“工人种柏树80棵，种松树比柏树少40棵，种松树多少棵？”可以通过“较大量-相差量=较小量”获得结果；也可以把柏树这个条件变换为较大量，通过“较小量+相差量=较大量”获得结果。这样的变换可以让学生同化数量关系间结构，在比较、分析的过程中捕捉条件之间的关系。

2. 巧借媒介“添一点”，减少外在认知负荷。

在思维过程中，视觉信息和听觉信息的获得与加工是分离的，两种信息的获取对内容理解形成相互补偿。小学生以具象思维为主，单纯依靠语言或符号的抽象特征，会使部分认知处于闲置状态。举例来说，行程问题数量关系复杂，日常经验中“同时、相向和相遇”并不具备典型性，但它们又万变不离其宗。例如，海监船51号和海监船66号同时从东西两海域相向而行，海监船51号每小时行36海里，海监船66号每小时行45海里。两船在距中点27海里处相遇。两船出发地之间相距多少海里？通过设计动态直观的演示课件理解四个要素的发生、发展过程，或借助实物辅以操作、体验，形成丰富的图文联系来弥补生活经验的缺失，这就减轻了学生的外在认知负荷，腾出更多的认知资源建构数量关系。

（三）整合内容，统合结构，化“零”为“整”

在总体认知负荷不超载的情况下，增加关联认知负荷有助于学生提升对数量关系的建构与迁移。也就是将简单的数量关系以网状形式呈现，形成关联丰富图式，以模块形式储存，克服认知负荷限制。

1. 归纳类型，搭建框架，化“点状”为“网状”。

数量关系的类型化能帮学生激活原有图式，进一步理解上位的数量关系。如在“表内乘、除法”的学习后，学生已经能识别份总关系的表达———总量÷份数=每份数，总量÷每份数=份数，每份数×份数=总量。借助这三者间的关系，能抽象出一些常见的数量关系，如“单价、数量与总价”“工作时间、工作效率与工作总量”等，而这些数量关系的获得必须经历归纳、提炼的过程，以多元表征的方式储存于认知空间，学生遇到差异性关系表达，就能更为主动、灵活地选择。

2. 构建图式，类比简化，化“粗疏”为“精细”。

康德曾说：“图式是潜藏在人类心灵深处的一种技巧。”不同图式的建立有助于学生把问题的基本结构存储于大脑，并在不同的情境中加以识别、迁移。储存和提取的效果越接近自动化水平，占用的认知空间就越少。例如，12箱迷你南瓜，每箱24个，一共多少个？数量关系简单，计算12×24时只需要激活两位数乘一位数的图式。如果学生借助两位数乘一位数的知识经验解答，就能激活连乘（12×4×6），乘加混合（24×10+24×2）和连加的图式，得出不同的计算方法，从而缩减识记的数量单位，减轻记忆负担。

3. 认知监控，通达未知，化“被动”为“主动”。

元认知是个体对自身认知加工过程的意识和控制。元认知监控不能独立教学，它渗透在学习的每个过程，只要把握好时机，学生就能体验在分析、计划、反思中寻找和理解数量关系的重要性。例如，在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？教学时，教师呈现两种假设，虽然方法不同，但是盒子的数量不变，总和发生改变，这与倍数关系的问题结构不同。这样的呈现、辨析过程，让学生更好地体悟认知监控的优点。

由于认知容量有限，学生在思维过程中很容易因负担过重而产生进一步加工信息的瓶颈。教学中，我们可以分析认知负荷的来源及构成，发现学生学习过程中的认知障碍，给出相应的策略，从而进行有效的教学与设计。

（作者单位：江苏省淮阴师范学院第一附属小学 本专辑责任编辑：王彬）