数学危机不危机

朱焕然

【摘要】 本文以历史上的三次数学危机为基础，通过解决三次数学危机为何发生在西方、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用、三次数学危机对我们的研究和教学的启示这三个的问题，以此证实数学危机，其实不危机，它对数学的发展有很大的影响.

【关键词】 数学危机；西方；数学分支；启示

一、三次数学危机简介

（一）第一次数学危机

公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知.该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示.希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解.这就是第一次数学危机.最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了.

（二）第二次数学危机

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论.柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾.无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机基本解决.

（三）第三次数学危机

1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾.罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合.因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的.因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合.数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论.德国数学家策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统，这场数学危机到此缓和下来.

二、三次数学危机为何在西方

（一）西方人更注重逻辑思维

西方有一句话叫做“富人创造世界”，从这三次数学危机，我们知道西方人善于发现问题，主张去探究“这个东西是什么”，从逻辑和本质出发思考问题，不断地将问题呈现出来，不断思考和挖掘，朝着困难进发，不断地思考事物的根源，而不是将理论推倒去重新建立，在此基础上，通过人们逐渐地去深入，或者是变换一种思考问题的方式，都能使新的问题得到解决.西方人长期是以这种逻辑思维来做事情、搞研究的，那么此时西方的数学才会出现危机.

（二）西方人更注重体系的完善

第一次数学危机是由于实数系不完整，第二次数学危机是由于极限理论不完整，第三次数学危机是由于公理化体系不完整.当西方人发现在现有的理论基础之上，解决这些问题的理论不能够得到落实，不能支撑起问题的解决，那么西方人会在此基础上去完善数学理论，不断地充实体系，使理论体系更加完善，以此来解决数学危机.因此说，西方是先有理论，由理论来指导实践，并且对于西方来说，建立起来的理论要达成一个完整的链条，使得它们完成整个数学界的连贯性和体系性.反之，东方人则不在意理论的完善，他们认为只要将理论建立起来就可以了，即使一些理论是零敲碎打，只要不影响使用就可以.因此，我们可以发现历史上的三次数学危机发生在西方不是偶然的，而是必然的.

三、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用

（一）三次数学危机的共同之处

通过对三次数学危机的研究，我们可以发现，这些危机都是在理论有缺陷的情况下发生的，数学家们研究不下去这些问题了，所以才将理论不断地充实下去，使得解决问题的依据更加充足.学者们都拥有永无止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解决一次又一次的数学危机，从而引起深远的影响.

（二）对实数系的推动作用

从第一次数学危机中，我们可以发现，导致其发生的原因是由于当时的人们只知道有理数，有理数就是整个实数系，而当一个数不能用整数表示时，人们就发现了存在于有理数之外的数，即无理数.所以说，无理数必须建立在有理数之上，有理数又是整数的扩展，整数则是由自然扩充而来，那么才能建立严格的实数理论.这样而来，无理数的出现促进了最根本的实数系的完善，并且为极限理论做下铺垫.

（三）对分析学分支的推动作用

分析学是三大基础数学的一大分支，其中数学分析则是以极限为工具来研究函数的学科.从第二次数学危机，我们可以看出极限的思想就蕴含在其中，无穷小量的出现引起了人们对极限的认识.极限思想是人们从有限认识无限、从近似认识精确、从已知认识未知、从量变认识质变，推动了数学哲学的形成和发展.如数理统计、图论、模糊数学等等，都是由第二次数学危机的产生而人们在充实理论中引出的新概念，这为现代数学奠定了基础.

（四）对理论数学之外的分支的推动作用

第三次数学危机的发生引出公理化体系，那么公理化体系的出现就将游离在数学之外的一些分支视为数学范围.如概率论， 概率论研究的是随机 现象，而在第三次危机

之前，我们将数学的特点定义为严密和精确，因此我们没有将概率论收入为数学的范畴，但是当公理化体系出现后，承认并证实了随机现象，这时人们才认可概率论.像应用数学中的运筹学，泛函分数等等，都是公理化体系最直接的受益者.

四、三次危机的启示

（一）坚持与信仰

人们在面对数学危机时，并没有因为害怕难题而逃脱，而是克服困难，及时补充理论并改正错误.能够用更大的麻烦来解决麻烦，危机促进了数学的发展，每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争.先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前.所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地.给数学史带来了深远影响.

（二）理论与实践

通过这三次数学危机，我们发现在指导实践的过程中，理论的空缺是很致命的，因此完整理论是很重要的，要在理论和实践相结合的同时，逐渐完善理论.比如说，我们在小学教学中，应该多让学生去亲自体验和感知所学习的知识，踏实下来计算一下，也许会有更好地教学效果.

（三）数与形的结合

从三次危机中，我们发现了数形结合的重要性，“数”是抽象的，“形”是具体的，结合起来才能有更大的成就，这是重要的数学方法和思想.像第一次数学危机，本质就是数形结合，通过刻画长短来形成对长度的感性认识，深刻理解概念和性质.具体到小学教学中就是在讲平均数的时候，“数”代表的就是计算平均数的公式，“形”的思想就是移多补少、齐平.

五、小 结

从公元前580的第一次数学危机开始，西方人不断思索，善于发现的品质使得他们发现了前人的不足，敢于推翻过去，同时也努力追求真相.这就意味着数学在一次次危机中不断完善，理论更加严密更加有据可循.所以西方的实数、分析学、数学之外的知识体系更加完整，成为了经典的理论让后人学习.中国早期的数学发展的很好，但是却满足现状，所以才让西方反超.同时我们也发现，只有不断的发现问题，才能想办法去解决问题.这也成为了我们数学学习的思路.当我们发现一个问题，然后想办法用之前学习的数学知识去解决的时候，这时候我们便具备了数学思想，并可以再此基础上获得更上一层的数学理论.所以我们经过这次研究也得到了巨大的收获.在面对问题时，逃避是不能解决问题的，要敢于思考，不要被过去所束缚，才能有新的发现.同时理论是建立在实践的基础上的，我们在教学中也可以去应用这一点让孩子们动手操作，化抽象数学知识为具体的数学模型，从而在脑海中建立数学知识的概念，这样更有助于学生的接受，是课堂教学的一个好方法.

【参考文献】

[1] 戴峰.哲学视域下的第三次数学危机[D] .太原科技大学，2010.

[2] 吕蕊.三次数学危机对数学发展的影响[J] .数学学习与研究，2010，（12），08.

[3] 汪晓梦.极限思想的形成、发展及其哲学意义[J] .中共合肥市委党校学报，2004，（09），15.

[4] 高星海.中西方思维方式之差异[J] .学习与探究，2014，（11），15.