范希尔几何思维水平对几何教学的启示

陶红强

关于学生几何概念发展与学习的研究，范希尔的几何思维水平是有着广泛影响的。范希尔的几何思维水平既可用于诊断学生的几何思维水平，也可用于教学活动的设计。一线教师认识和理解范希尔的几何思维水平，有利于在几何教学中组织有效教学活动，更好地促进学生空间观念的形成。范希尔几何思维水平分为五个等级，而小学生只能达到前三个等级。现结合前三个等级以“直线、射线和角”的教学为例，具体说一说范希尔几何思维水平在几何教学中的启示。

一、借助直观，促进理解（水平1）

1. 关于水平1（直观化）的解读。

处于这一水平的学生能按照外观来识别、操作一些几何图形，学生的推理是由直觉主宰。也就是说在这个阶段的学生往往只能从外观上识别图形，而不关心也没有能力清楚地确定图形的性质。

2. 体现出“直观性”的心理特点。

小学生的思维是以具体性和形象性为主的，所以对一些直观的图形和概念比较容易理解。对于那些比较抽象的几何概念，理解存在一定困难，需要借助直观的手段来理解。

3. 对教学的启示。

在“直线、射线和角”的教学中，首先出示一组线，让学生对其分类。此时通过对外观的观察可以按照直和曲的标准将其分类。通过这样的标准分类，有利于学生从整体上感知射线、直线和线段的共同本质特征——直，为进一步学习三线间的联系做好铺垫。尽管这样的分类仅仅是从外观上进行的，而不是根据图形的性质来区分的，但这样的处理却把学生的思维由直观引向图形的性质特征，以便更好地从直观化水平向描述水平过渡。

另外，关于射线、直线的认识，也是需要联系生活中熟悉的事物。例如在学习射线时，可借助课件向学生展示射向天空的光线。让学生说一说这条射向天空的光线有什么特点。在学习直线时，则可展示孙悟空的金箍棒，然后动态展示金箍棒一直向两端延长的动画，并让学生想象这样一直延长下去的金箍棒会具有怎样的特点。这种直观化的手段，有利于学生整体感知光线（金箍棒）的特点及其构成要素（端点和线）。尽管这种认识还是基于经验性的，但在理解几何概念及其发展空间观念时却起着重要作用。这里还涉及一个问题，那就是数学概念的心理表征问题。郑毓信教授认为：在大多数情况下，数学概念在人脑中的心理表征都不是相应的严格定义，而是一种由多种成分组成的复合物（这就是所谓的概念意象），包括相应的心智图像、对其性质及相关过程的记忆，以及具体的例子等。就几何概念而言，其概念意象往往就包含有对其某个特例（或原型）的感性记忆。由此可以看出，通过直观手段向学生展示生活原型或特例，在几何概念的学习中至关重要。过了很多年以后，学生也许早已忘记射线和直线的严格数学定义，但一直向两端延长的金箍棒等数学情景画面则可能牢牢地印在学生的头脑中，而这个情景足以使其理解直线的定义和特征。

二、在活动中探索图形性质（水平2）

1. 关于水平2（描述、分析）的解读。

处在这一阶段的学生能通过图形的性质来识别图形，并能确定图形的特征，却看不出两类图形之间的关系。也就是说，在这个阶段的学生，能通过观察、测量、搭建等活动，经验性地建立图形的性质，并用日常生活的经验用语将这些性质描述出来。

2. 体现出“偏重于明显要素”和“描述性”等心理特点。

图形是由一些要素组成的，学生在认识几何图形时，对于几何图形的各组成要素在感知时是有选择性的。对于比较明显的、突出的要素感知起来比较容易，反之则感知困难。“描述性”主要体现在学生交流时，一般使用自己的日常语言，而不是使用书上的那种标准的数学语言。

3. 对教学的启示。

几何图形的学习，一个非常重要的方面就是对图形特征的学习。像线段特征的认识、射线特征的认识、直线特征的认识，即属于这个水平层次的学习。学生通过相关特征的学习，能将图形的性质与一类图形建立联系，但不能在不同类图形之间建立联系。例如，学生在学习了射线的特征后，能根据射线的特征辨别某条线是不是属于射线，但此时还不能对线段、射线和直线的关系与区别做出认识。在具体教学中，让学生经历观察光线、金箍棒等环节后，可以让学生尝试着动手将这样的线画出来。这里要说明的是，学生在画的过程中必然伴随着一个思考的过程，可以使头脑中零散的、模糊的想法变得有关联、清晰起来，从而加深对图形性质的理解。

学生在探索图形性质时，具有偏向于明显要素，而容易忽略隐含要素这一心理特点。具体表现在探索线段时，容易感知“两个端点”与“直的”两个要素，而容易忽略线段的“有限长”这一隐含要素。同样，对于直线、射线的学习，学生容易感知“有无端点”“直”等要素，对于“向一端无限延长”和“向两端无限延长”这些要素的感知存在困难。针对这种心理特点，我们在教学时应突出“有限长”“无限长”这一重点。为达成这一目的，对于线段可以让学生开展画一画、量一量、说一说、比一比等活动，在活动和交流中体会线段的“有限长”。在认识射线、直线的“无限长”时，可充分利用学生的生成资源，就如有的学生在画射线（直线）时，画得很长，一直画到本子的边缘。这时教师便可问：“这位同学画这么长是想要表达什么呢？”（无限延长）

另外，处在此水平阶段的学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，一般来说，他们尚不能用精确的语言来刻画数学概念。例如，学生在描述光线时，会说“一直射向天空，射得很远很远”，用这种生活语言来描述射线的无限长这一特点。对于这种情况，教师首先要允许并鼓励学生用自己的语言描述，但不能停留在这个水平上，待学生用自己的语言描述后，教师要说出精确的数学语言以便逐步引导学生掌握精确的语言。同时这一心理特点也启示我们，在概念的形成过程中，不能一步到位，也就是说不能直接出示定义概念，而是有一个概念的生成过程，是逐步形成或者说生成的。这一点，也符合皮亚杰的观点：学生学习几何，先有具体概念，再有定义概念。所以，我们在出示射线、直线的定义概念时，先出示其具体概念。具体来讲，可以先出示射线、直线的图形，然后指出：像这样的图形，在数学上，我们把它叫作射线（直线）。用这种具体直观的描述性语言，学生容易理解。

讲到出示图形，这里又不得不面对一个重要的问题：在探索图形性质特征时，我们为了让学生更好地进行探索，往往给出的图形都是标准的图形或者说标准位置的图形。但要指出的是，我们不能只停留于对标准图形的认识，还要适当地变换方位，通过变式图形与标准图形的比较，来突出标准图形的本质特征，从而正确地掌握图形的基础特征。事实上，只有通过各种变式图形认识了图形的本质特征，才能通过图形的性质与一类图形建立联系。

三、在想象与推理中把握关系（水平3）

1. 关于水平3（抽象、关联）的解读。

在这个水平阶段的学生已能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件。处于这阶段的学生能注意到不同图形性质之间的联系，并能进行一些非正式的推理。

2. 体现出“偏重于单个要素”的心理特点。

几何图形分为单个要素和要素之间关系两个方面。已有相关研究表明：小学生对几何图形的单个要素观察起来比较容易，而对要素与要素之间的关系感知就比较困难。

3. 对教学的启示。

对几何知识的学习，除了图形特征外，图形关系的学习也是非常重要的内容。图形的关系具体分为同一图形各个要素之间的关系和不同图形之间的关系。而同一图形各个要素之间的关系往往反映了图形的本质特征；图形与图形之间的关系有利于学生整体把握几何知识，形成完整的认知结构。所以，图形的学习，应针对学生偏重于单个要素的心理特点，通过引导学生应用想象和推理来掌握关系。关于线段的三个要素（两个端点、直的、有限长），学生认识相对比较容易，而关于“两个端点”与“有限长”的关系却认识不到，需要教师的引导。同样，射线“只有一个端点”和“只能向一端无限延长”这两个要素的关系也不能很好理解；对于直线“无端点”和“可以向两端无限延长”这两者之间的关系理解起来同样存在困难。而这种关系恰恰体现了数学的本质，因为正是有端点才使线段不能向两端无限延长，进而是有限长的；同样，射线只有一个端点，射线才能向无端点的一方无限延长；直线没有端点才可以向两端无限延长。这里又引发我们思考这样一个问题：在教学中，怎样才能突出射线和直线的无限长这一关键特征。前文所讲的仅让学生来画一画是远远不够的，还要把学生的思维引向数学的本质——端点的作用与能否无限延长。这里就有一个非正式的推理和想象的过程，也就是说可以在想象和推理中来把握各要素之间的关系。另外，也可以通过线段的有限长（端点的作用）来理解无限长。当学生真正理解了什么是有限长及其表达方式（两个端点），也就自然而然理解了无限长及其表达方式。

就图形与图形之间的关系来讲，本课的三线联系也是非常重要的学习目标。三线的联系是射线和线段都是直线的一部分。通过两个环节可以引导学生很好地建构这一关系。环节1：以线段为基础，让学生在线段的基础上分别变形出射线和直线，进而适机总结出射线和直线的抽象定义。（把线段的一端无限延长，就得到一条射线；把线段的两端无限延长，就得到一条直线）环节2：让学生在直线上画一条射线和线段，接着动态演示线段的端点和射线的端点在直线上移动，而线段和射线始终在直线上。通过这两个环节的学习，学生能很好地体验到三线的联系。

（作者单位：江苏省溧阳市文化小学）