发散型带电粒子在圆形磁场中的运动

柴建波

摘要：带电粒子在磁场中的运动问题一直以来是高考和各地模拟考的热点与难点，对于学生而言之所以难是因为这类题目往往结合运动学和复合场的知识。其抽象的空间想象力和复杂的运动过程成了学生谈“磁”色变的主因。在此，笔者结合课堂中的教学经验，着重谈谈速度大小相同、方向不同的带电粒子源在磁场中的运动问题。

关键词：发散型带电粒子；圆形磁场；运动

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）05-0120

一、动圆法处理粒子源的轨迹圆心和边界

首先引入这样的情景：在垂直于纸面的匀强磁场中，在某点S有一粒子源在纸平面内，朝各个方向发射速率相同的同种带电粒子（重力不计），已知粒子的质量为m，电荷量为+q，磁感应强度为B，速度为ν，如图1（a）所示。简单分析下

很快便可以得出：这些粒子进入磁场后，都在做半径为的匀速圆周运动。那么这些粒子轨迹的分布具有怎样的特点呢？

这里，通过画圆的方法，我们试着从几种特殊的入射角度进行探究，以纸面为平面建立水平方向和竖直方向的坐标系。分别得到沿坐标轴四个方向入射粒子的轨迹如图1（b）所示。由图大致可以得：轨迹的圆心分布在半径也为R的圆上即图1（b）中的虚线围成的圆，轨迹的边界分布在半径为2R的圆上。那么这个结论是否可靠呢？为了证实这一想法，可采取做任意入射角度的粒子轨迹，即作动圆的方法分析，最后由图1（c）可证实。有了这个结论便可以帮助我们很快处理一些常见的题型。

例1. 在y>0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy平面向外，原点O处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，正确的是（ ）

分析：磁场垂直xOy平面向外并位于x轴上方，离子带带负电，利用左手定则判断出离子运动方向。对于从第一象限射入的粒子，通过上述的画动圆的方法可以得到粒子轨迹的圆心分布在第二象限中，第二象限射入的粒子轨迹圆心在第三象限中，因此这里的C选项是正确的。同理粒子从第三和第四象限入射，如果有磁场的情况下，圆心分别分布在第四和第一象限上，很显然不符合题意。

例2. （2005全国卷Ⅰ20）如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=■。正确的是（ ）

分析：根据前面的结论，速度大小相同，方向不同的粒子源轨迹所围成的边界为半径2R的圆，现在的磁场只存在MN的上方，因此画动圆的方法很自然可以选到正确的答案A。

二、磁聚焦和磁扩散及其具体应用

在前面的情景中，如果把磁场做些限制，即在某点S有一粒子源在纸平面内朝各个方向发射速率相同的同种带电粒子（重力不计），以S为坐标原点建立XOY坐标系，在XOY平面内，有以O′（R，0）为圆心，为半径的圆形磁场区域，方向垂直XOY平面向里。（已知粒子的质量为m，电荷量为+qM磁感应强度为BM速度为v），试问一粒子从坐标原点S以与x轴成角入射，判断该粒子出磁场时的方向。

这时粒子的入射方向也被限制在第一和第二象限，取两个任意的入射角，可得图2（a）和图2（b）所示，结合图形，由于此时的圆周运动半径和磁场的半径均为R，分别连接两圆的交点和两个圆心，得到四边形如上图2，由数学知识可知四边形为菱形，从而得出SO′始终平行于BO，而BO1必定垂直粒子的出射方向，即当R圆=R磁时，从磁场边界上某一点沿不同方向入射的同类带电粒子，在离开磁场时速度方向互相平行（如图3所示）

拓展后可得从O点（y>0）射出的粒子（速率相同）通过磁场后均沿+x方向平行射出，如图4（a）。同理沿+x方向平行射出的粒子（速率相同）通过磁场后汇聚在O点，如图4（b）所示。那么这两种情景我们称之为磁扩散和磁聚焦。

例3. 如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为-q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是（其中B0=，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆）（ ）

分析：这是典型的“磁聚焦”问题，带电粒子流水平向右飞入匀强磁场做匀速圆周运动，由于不同的位置，但速度大小方向均相同，则它们的运动轨迹的半径相同。而它们的圆弧长度不一，则飞行时间不同。由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A、B、C这三个选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均相同。唯有D选项因为磁场是2B0，它的半径是之前半径的2倍，不能汇聚于一点。然而当粒子射入B、C两选项时，也不可能汇聚于同一点。结合图4（b）知A选项满足题目要求，能汇聚于一点，故选A。

三、展望高考，个人感悟

实际上，高考对于这一类特殊粒子源的考查早已展开，细数历次高考卷和各地模拟卷，我们多多少少可以找到一些痕迹，且出现的形式往往是计算大题。在课堂实践中，为了消除学生对于这类问题的恐惧，作为教育工作者，我们有责任也有义务化繁为简，把物理学中最美的一面展现出来，用最简洁的规律帮助学生走出题海的深渊。

（作者单位：浙江省宁波市象山县象山中学 315700）