有关三角形相似的讨论

陈颂

摘 要：我们知道，相似三角形有几种判定定理，这些定理形式各异，都需要我们好好的来理解。本文分别对这几种判定定理进行分析，并且梳理相关的知识点，希望能够对读者有所启发。

关键词：相似 三角形

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2016）09-0033-01

我们知道，相似三角形有几种判定定理，这些定理形式各异，都需要我们好好的来理解。本文分别对这几种判定定理进行分析，并且梳理相关的知识点，希望能够对读者有所启发。

1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

这种情况可以类比考虑以下情形：设直线AB与直线CD平行，直线l1与直线l2相交于点O，直线l1分别与直线AB、CD相交于点A、D，直线l2分别与直线AB、CD相交于点B、C，此时可以分为两种情况：

（1）点O在直线AB与CD之间。此时三角形OAB与三角形OCD相似（对顶角相等，两对内错角相等，且AO∶OD=BO∶OC）。

（2）点O在直线AB与CD之外（有两种情况：在直线AB之外与在直线CD之外。由于对称性，两种情况是一致的，所以归为一种）。此时三角形OAB与三角形OCD有一个公共的角O。又由于同位角相等，三角形三个角对应相等。且OA∶OC=OB∶OD.三角形OAB与三角形OCD相似。这种情况可以与以下知识点相联系：三角形的中位线。我们知道，三角形的中位线与底边平行，且等于底边长的一半。此时两个三角形相似，且边长之比即相似比为1∶2，面积之比为相似比的平方，为1∶4。

2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

这种情况就是上述中的情况（2）。

3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

我们知道如果两个三角形三条边对应成比例的话，那么我们可以将其中一个三角形平移，平移的位置可以是上述的情况（1），即有一对角是对顶角。也可以是情况（2），即有一对角重合。我们将之前的推理反过来，由平行线的性质，可以得出两个三角形相似的结论。具体如下：

假设三角形ABC与三角形A′B′C′对应边成比例，即AB∶BC∶AC=AB′∶BC′∶AC′，那么我们可以将三角形A′B′C′平移至点A′与点A重合，且AB与A′B′在同一条直线上。此时由于AB∶AC=AB′∶AC′，故BC∥B′C′，故由于同位角相等，三角形ABC与三角形A′B′C′有两对角对应相等。角A为两个三角形的公共角。此时三角形ABC与三角形A′B′C′相似。

如果我们学习了解三角形的知识，由余弦定理（已知三边长，可以求出三个角的大小）我们可以得到，上述两个三角形对应角相等。于是三角形相似。

4 如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似

我们知道，三角形内角和是180°，那么如果已知两个三角形的两个角分别对应相等，则第三个角也对应相等。我们假设三角形ABC与三角形A′B′C′对应角相等，即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，那么我们可以将三角形A′B′C′平移至点A′与点A重合的位置，且点B′在边AB或AB的延长线上。此时由于∠B=∠B′，∠C=∠C′，故BC∥B′C′，故三角形ABC与三角形

A′B′C′三边对应成比例。故三角形与ABC三角形A′B′C′相似。

5 特殊的直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。这种情况要利用余角的性质，得到有一对（或两对，一对也够用）相同的锐角，由上述情况四知，直角三角形与原三角形相似。

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。由勾股定理可以得到，若上述已知条件成立，那么这两个直角三角形另外一对直角边也与斜边对应成比例，应用上述情况三知，两三角形相似。

另外，全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1∶1。同学们也可以把全等三角形和相似三角形的判定定理对比研究，相信会很有收获。