排列组合的一题多解

刘小朋+陈雪宏

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）04-0218-01

问题：有数字1，2，3，4可组成多少个恰有两个重复数字的不同的三位数？

这道排列组合的题一般有两种不同的思路：一是正向思维，二是逆向思维，所以也就决定了常规的解法只有两种。

解法一：把符合条件的三位数分成三类：个位数与十位数重复；个位数与百位数重复；十位数与百位数重复。每一步均要两步，第一步确定重复的数字，有4种不同的方法，第二歩确定另一个数字，有三种不同的方法，所以共有43+43+43=36（个）

解法二：由1、2、3、4组成的不同的三位数可分为三类：没有重复数字的三位数；恰有两个重复数字的三位数；三个数字都重复的三位数。第一类没有重复的数字有43=24，第二类三个数字都重复的三位数有4个，所以恰有两个数字重复的三位数共有64-24-4=36

解法三：先从4个数中选出两个数字共有种，再从选中的两个数中确定一个重复的数字有种，然后，这三个数字全排种，如被选的重复数字是a=b，不重复的是c，则它排成的三位数是：abc，acb，bac，bca，cba，cab.我们可以看到得到的这三位数刚好重复了2次。

所以，根据分布计数原理，可选数字共有两种，再从选中的两个数中确定一个重复的数字恰有两位重复的数字有：。我称这种方法叫做：实践归纳法

解法四：先从4个数中选出两个数，再从选中的两个数中选一个数有种，如被选的重复数字是a，不重复的是b，如图插空法b的填法就有三种不同的方法：

所以恰有两位重复数字的三位数有（个）

其实第四种方法还可以推广到有n个数字，其中有k（n>=k）个数字重复的情况，但是这种情况非常复杂，在高中研究是没有什么作用的。因此，在这里就不再深入了。