直线运动相遇和追及问题的模型构建与探究お

郑行军

相遇和追及问题是指两物体能否在同一时刻到达空间的同一位置，此问题有两个关键点：一是同时；二是同一位置.解决此类问题时，首先对两物体的运动情况分别进行研究，然后列出两物体的位移方程；再利用时间关系、位移关系、速度关系来建立两物体的运动关系的桥梁，最终找出相遇和追及问题的条件或特点，所以解决此类问题的关键在于寻找两物体运动的时间、位移和速度关系.

1 模型构建

1.1 轨迹模型的构建

同一直线上的相遇和追及问题常见情况：相向运动模型、同向运动-同时同地模型、同向运动-同时不同地模型、同向运动-同地不同时模型，四种模型的位移和时间关系如下：

1.2 问题模型的构建及分析

【模1】 涉及相遇时的物理量分析：

分析思路：①根据题目条件画出物体运动的轨迹，利用轨迹图找出物体运动的位移关系和时间关系.②分析物体运动的规律，选择适当的运动公式利用位移关系和时间关系求解，可先求时间后求其它物理量.

【模2】 涉及相距最近（远）的物理量分析：

处理方法：函数法、图象法、结论法.

分析思路：

①利用两物体末速度相等求两物体运动的时间.

②求出在运动时间内两物体运动的位移.

③根据条件画出两物体运动的轨迹，利用轨迹图找出两物体的最近（远）距离关系.

【模3】 涉及恰好不相撞问题的物理量分析：

问题特征：恰好不相撞问题应同时满足以下关系：（1）末时刻两物体相遇，应存在位移关系和时间关系；（2）末时刻两物体速度相等.

分析思路：

①利用末速度相等求出两物体运动的时间.

②求出在运动时间内两物体运动的位移.

③根据条件画出两物体运动的轨迹，利用轨迹图求出临界状态下的待求量.

【模4】 涉及前物做不可逆匀减速直线运动的物理量分析：

问题特征：后物在与前物相遇前可能存在前物已处于静止.

分析思路：

①假设前物做匀减速的末速度为零，求出前物减速至零所需的时间.

②求出前物减速至零时，两物体运动的位移.

③根据位移画出两物体运动的轨迹，根据轨迹图判断前物减速零时，后物是否已和前物相遇.

【模5】 涉及物体运动最大速度的物理量分析：

问题特征：两物体在相遇前，物体的速度可能已达到最大值.

分析思路：

①假设两物体在相遇前，物体一直做匀加速直线运动.

②分析题目条件画出物体运动的轨迹，利用轨迹图寻找两物体运动的位移关系和时间关系.

③分析物体运动的规律，选择适当的运动学公式利用位移关系和时间关系求解，判断物体的末度是否超越最大值.

2 模型应用及分析

例1 同向运动的甲、乙两质点在某时刻恰好同时通过同一个路标，以此时为计时零点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为v=4t+12，乙质点位移随时间的变化关系为x=2t+4t2，以上各式均使用国际单位.（1）甲质点的位置-时间表达式；（2）两质点何时再次相遇；（3）两质点相遇之前何时相距最远.

解析 本题由题目条件可知应为同向运动的同地同时模型，相遇轨迹如图6所示：

通过对以上不同类型的相遇和追及问题的题目分析，采用模型化构建的探究模式优点在于：

（1）五类轨迹模型的构建抓住了相遇和追及问题的轨迹特点，使得在分析不同表象的题目时，都能有一个清晰的轨迹模型，从而简化了题目的解题思路，提高了解题的效率，实现了化繁为简的目的.

（2）问题模型的构建挖掘了模型中可能存在隐含知识，抓住了问题的本质和相应的分析思路，提高了解题的应变能力.

（3）轨迹模型和问题模型的构建完善了相遇和追及问题的知识体系，通过对两种模型合理组合，活化的知识结构，触发了联想性思维的有效迁移.