能学，更会学

窦剑眉

在高中阶段的数学学习中，练习题目的数量大幅增加。很多教师和学生都热衷于通过加大练习数量来巩固知识学习效果，使课业负担成倍增加。然而，大量做习题并不一定能使学习效果得到提高。即使教师在每一次课堂教学后都为学生布置很多练习，仍然会有不少学生频繁出错。究其原因，问题并不是出在教师所布置的习题本身，而是解题之后对于习题的处理。解题之后的反思不足，会使数学习题的训练效果大打折扣。

一、寻找题中陷阱，促进查缺补漏

什么样的题目应在解答后进行反思？错题必然是首选。很多情况下，学生之所以会做错题，并不是知识点不清楚，而是没有注意到题目中所设置的陷阱。这需要引起教师的重视。学生总是无法发现题中陷阱，表面看来是解题过程中疏忽了、马虎了，实则是由于对一些容易出现错误的内容不敏感、不清晰所导致的。因此，怎样发现和识别题中陷阱，是解题后反思一个重要内容。

例如，在运用排列组合的知识进行解题时，很多学生在这个问题的解答上都出现了问题：5个人分别编号为1，2，3，4，5，他们分别坐在编号为1，2，3，4，5的椅子上。那么，至多有两个号码一致的坐法有多少种？大多数学生都从对立事件的角度进行考虑，认为求出3个或4个号码一致的情况，再做减法就可以了，于是有了A55-C35A22-1=99的答案。这道题出现错误的原因在于审题不清。当3个号码一致时，另两个号便不能一致。即若选择了1、2、3号一致，则4、5号人的坐法是唯一的，即A22种。正确解法应为A55-C35-1=109。透过这个题设陷阱，学生清楚地看到了思考中的疏漏。

二、推广一题多变，强化综合能力

对所解题目进行反思，其范围不应仅仅局限于该题目本身，而是要对之进行最大限度的拓展，将每道习题的探究价值扩充到最大。推广一题多变，可以同时触发一道题目中的多种可能性。在一题多变的过程中，一道题以不同形式予以展现，学生得以从多个侧面与角度对知识内容进行理解，能够提高学习效果。

例如，我曾经对这样一道题目进行拓展变化：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。学生运用函数思想进行常规解答的比较多。在此基础上，我继续开辟思路，引导学生从换元、不等式和数形结合的角度出发，又分别通过三角换元、基本不等式及圆等方法顺利求解。学生的知识体系一下子被打通了。随后，我又将题目进行改编，成为“已知x、y非负，M=a4+b4，a+b=1，求M的值”、“已知x、y≥0且x+y=1，求x8+y8的值”等形式，请学生继续尝试解答。

在落实一题多变过程中，教师可以突破变化题目本身这一界限，将触角延伸至对于解题过程进行变化上，也就是“一题多解”。对于比较典型、灵活的题目，即使学生已经得出了正确解答，教师仍然应将其他解答方法呈现给学生。每种不同的解法，都能开启学生不同的思维角度，这对于提高数学学习效果来讲是具有积极意义的。

三、总结解题规律，提升学习效率

高中数学中出现的习题数量和种类都是相当庞大的。如果要求学生对之面面俱到地分别掌握，对于时间和精力都是一个极大的挑战。为了提升解题效率，教师要将一些巧妙方法传授给学生，从具体习题出发，总结解题规律。

例如，在学习数列时，出现了这样一道习题：{an}是正项等比数列，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，那么，a3+a5的值是多少？为了快速准确求解，解答时需要运用等比数列中am-pam+p=am2的性质，将等式配方成为（a3+a5）2的形式便可轻松得到答案。由此，我带领学生从中提炼出配方法的解题规律，并请学生运用这一方法解答如下问题：已知，sin4α+cos4α=1，那么，sinα+cosα的值是多少？学生感到，配方这一解题规律的出现，使类似问题的解答难度明显降低了。

经过多次解题之后总结规律，学生深切感受到，一直以来的“点”式学习被串连成为了“线”式学习。知识点是具体的、零散的，而规律却是系统的、普适的。在总结规律的同时，本身就是对解题过程的回顾与提炼，将得出的规律运用到更多类似的数学题目中，能够缩短思考时间，降低解题难度。因此，解题完成后，学生不要急于继续解题，而是要回过头来看一看，也许能够从中发现更有价值的问题，从而提高学习效果。

总之，从某种意义上来讲，解题后反思的过程要比解题过程本身更重要。如果在每一次解题之后都进行深入到位的反思，不仅能从根本上夯实基础，更能从中发现深化探索的入口，在反思的过程中，实现知识学习的升华。