探讨小学数学思维的基本表现形式

雷秀云

摘 要：小学数学思维在学生学习中的表现形式是多重的，梳理思维表现的基本形式，能帮助学生去繁除难，达到提高学习效果的目的。希望广大的小学数学教师能在思维基本表现形式上深入研究，对实际教学活动发挥出积极导向作用。

关键词：数学化；凝聚性；互补与整合

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-103-01

小学数学是一本比较讲究思维教学的基本学科。数学教学中，学生思维习惯的养成，对于熟记概念，理清逻辑关系，开阔学生解题思路具有重要的意义。小学数学思维在学生学习中的表现形式是多重的，梳理思维表现的基本形式，能帮助学生去繁除难，达到提高学习效果的目的。

一、基本表现形式之一：思维纯数学化

众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数学”的重要过渡。例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念，这事实上就已经包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡。再如，在学习圆柱的表面积计算公式时，我们必须让学生知道，圆的半径、直径的求法，圆的周长的求法，圆的面积的求法，圆柱的侧面积的求法。因为这些知识是相互联系非常密切的，是由浅入深的知识网。在哪一步摔了跤，都不能顺利解题。因为知识之间的联系非常密切。掌握了这一点，我们教数学、学数学，就有章可循了。数学上的每个知识点，都是互相联系的，我们必须打好每一步的基础，一步踩不实就会踏空，后果是严重的。因此，我们必须按数学的自身特点为小学生打好数学基础。

二、基本表现形式之二：数学思维的凝聚性

由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重要的指导意义。正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的“凝聚”，也即由“过程”向“对象”的转化，构成了算术以及代数思维的基本形式。这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的“输入——输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个“凝聚”的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。

三、基本表现形式之三：数学思维存在互补与整合

以上关于“过程——对象性思维”的论述显然已从一个侧面表明了互补与整合这一思维形式对于数学的特殊重要性。以下再以有理数的学习为例对此作出进一步的说明：首先，我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系、商、算子或度量等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释（或者说相应的心理建构）很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。这也正是新一轮小学数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式……教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的；然而，需要强调的是，除去对于各种学习方式与表述形式的直接肯定以外，我们应更加重视在不同学习方式或表述形式之间所存在的重要联系与必要互补。这正如美国学者莱许所指出的：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式──如图像、书面语言、符号语言、现实情景等──同样也发挥了十分重要的作用。”

综上可见，小学数学的教学内容体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实“帮助学生学会基本的数学思想方法”这一重要目标。对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。希望广大的小学数学教师能在思维基本表现形式上深入研究，对实际教学活动发挥出积极导向作用。