连续与一致连续

杨昌海

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-086-01

一、连续的定义及其理解

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数.“连续”与“间断”（或不连续）照字面上来讲，是不难理解的，所谓“连续，意即连续不断”.它反映了我们观察到的自然现象的一种共同特性.例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等.

我们不难举出大量的连续与不连续的函数，例如 在每一点x都是连续，而y=[x]在所有整数点都不连续.但究竟怎样才叫连续呢？单从图形上来看是不行的，我们可以举出在每点都连续却无法用图形表示的函数.图形只能帮助我们更形象地理解这一概念.为了对它作进一步的分析和研究，必须给“连续”一确切的定义.

所谓函数f（x）在 点连续就是指：当x越接近 时，函数值f（x）就越接近f（ ）.它的意思是：函数f（x）不仅在 点极限存在，而且这个极限正是f（x）在点 的函数值，这意味着函数的图形在 点连结起来了.

1、函数在一点连续的定义

定义1若函数在 点附近包括 本身有定义，并且 时，我们称f（x）在 点连续，或者称 点是f（x）的连续点.

下面根据定义看这样的题，

函数 在点 连续

解：

函数 在点 连续

定义2设函数f在 的右（左）领域 内有定义，若

（ ）

则称函数f在x*右（左）连续.

由定义1和定义2，我们可得出如下定理：

定理1，函数f在点 连续的充要条件是：函数f在点 既是右连续，又是左连续.

例如：函数 在x=0的连续性.

解；因为

而 ，所以函数在 右连续，但不左连续，从而它在 不连续.

2、区间上的连续函数.

若函数f在区间I上每一点都连续，则称f为I上的连续函数.对于闭间端点上的连续性则按左 右连续来确定.

二、一致连续性的定义的理解

函数f在区间内的连续性，是指它在某区间内每一点都连续，那下面就来讨论的一致连续函数的概念是反映函数在区间上更强烈的连续性.

定义3， 设f为定义在区间I上的函数，若对任给的正数ε，总存在正数δ=δ（ε），只要 属于I，且| |<δ，有

| （

则称f在区间I上一致连续.

直观地说，f在I上一致连续是指：不管 与 在 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使

同理有了一致连续的定义也就有不一致连续的定义，如下：

函数f在区间I上不一致连续就是：存在正数ε，使得对任何正数δ，总存在两点 ，虽然| |<δ，但有| （ .

例 证明 在 上一致连续.

证 对于任给的正数 ，由于

所以选取 ，不论 取为 上的怎样两点，只要| |<δ，就一定有

这就证得 在 上一致连续