指数B-样条函数与Gabor函数

冯　惠，　吐尔洪江·阿布都克力木，　热依木汗·热西提，　张小燕

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054)



指数B-样条函数与Gabor函数

冯惠，吐尔洪江·阿布都克力木*，热依木汗·热西提，张小燕

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054)

摘 要：为了利用指数B-样条函数的平移不变性，文章分析了一些有关它们的性质，并且给出了低阶指数B-样条函数的显示表达式，它对于调整参数很有用。从而，通过选择一组特殊的参数，便可以获得具有良好的时频局部化的Gabor类函数。最后，给出了多分辨率和小波分析的关系。

关键词：指数样条函数; Gabor形状函数; 多分辨率分析

样条理论是通过分段多项式分段函数来定义的[1,2]。而这些函数的一个很显著的优点是能够进行快速估值[3]。也可以用分段指数多项式函数来代替分段多项式函数。一般来说，如果指数函数是实函数的话，由它获得的指数B-样条函数就不再对称。这也意味着基函数不再是线性相位的，这在图像处理等领域中将不再有吸引力。然而，通过使用虚数作为指数部分的参数，便能得到实对称的复函数。这些函数的数学性质可以在文献[4,5]中找到。

目前的工作能够处理一些有着Gabor函数形状的指数B-样条函数。通过反复试验，已经可以描述出当n=2,4时的指数B-样条函数。

1指数B-样条函数

1.1指数B-样条函数的定义

(1)

(2)

为了获得指数B-样条函数，此时权函数是指数函数

图1　n=2时，由卷积生成的指数样条函数

在图1中能够看到阶为2的指数B-样条函数的图形，其中实部和虚部都被表示出来。

指数样条函数族有一个用IIR滤波器快速估计的方法[6],它和多项式B-样条算法相对应。指数样条函数傅里叶变换也有明确的形式：

1.2指数B-样条函数的扩充

指数B-样条函数的扩充记号如下：

(3)

其中，m是正整数。在文献[6]中，它是以离散的相关形式存在，可以找到n是偶数时的连续对应，即

(4)

代入(4)式，便能够进行塔式(多分辨率)与小波分解。此时，构成滤波器组的函数就是复函数。在表1中，对于n=2,3,4分段指数给出B-样条函数的通用公式。

2利用指数B-样条函数构造Gabor形状函数

2.1Gabor形状样条函数

而通过选择一个合适的指数样条权函数，就能够获得Gabor形状函数。因此，为了使这些函数逼近必须要满足一个重要的条件就是进行统一划分：

在这种情况下，能够保证原来的函数和样条产生的函数之间的误差是随着采样率的增加而减小的。而这类函数也将会变为：

表1　分段指数样条函数(n=2,3，4)

.

图2　α=1的指数函数和n=4的多项式B-样条函数

2.2相关小波

多分辨率分析的另一个步骤就是获得它的对应小波。在获得多项式样条小波函数的过程中[9]，在基函数的基础上定义了小波函数：

(5)

其中，n为偶数。正交性条件来源于条件

(6)

通过使用一个类似于文献[3]中所描述的程序，而不是使用复杂的离散函数，便得到

在图3中分别给出了α=1时n=2和n=4的指数样条函数图像。相应的指数B-样条函数的形状也表明了当α趋于0时，实部比虚部变化明显。对于n=4时，能够观察到小波函数又与Gabor函数比较相像。

(a)α=1,n=2　　　　　　　　　　　　 (b) α=1,n=4

3结论

对于指数B-样条函数，在给出低阶样条函数的通项公式的情况下，通过选择合适的参数，便可以得到一个新的具有Gabor函数特征的复杂样条函数。由Gabor函数的基函数，可以类似地利用指数B-样条小波函数的构造过程，便能构造出相应的Gabor类小波函数。这种方法是普遍的，当α=0时，多项式B样条才由一般成为特殊。更重要的是，该方法对于多项式B-样条函数在样条空间的计算和构建是可以利用的。因此，对于多项式样条函数技术在实函数空间的使用推广到一个更复杂的空间是非常有希望的。

参考文献：

[1] M.Unser. Splines: A perfect fit for signal and image processing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 1999,16(6):22-38.

[2] 吐尔洪江·阿布都克力木. 小波信号处理基础[M]. 北京：北京邮电大学出版社，2014.

[3] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden. Fast B-Spline transform for continuous image representation and interpolation,IEEE Trans[J].Patter Anal.&Machine Intell, 1991,13(3):277-285.

[4] W.Dahmen and C.A.Micchelli. On the theory and application of exponential splines. in Topics in Multivariate Approximation,C.K. Chui,L.L.Schumaker and F.I.Utreras(eds.)[M].Academic Press, New York,1987:37-46.

[5] A.Ron. Exponential Box Splines[J].Constructive Approximation,1988,(4):357-378.

[6] T.Asahi,K.Ichige, R.Ishii.A computationally efficient algorithm for exponential B-splines based on difference/IIR filter approach[J]. IEICE Trans.on undamentals,2002,E85-A(6):1265-1273.

[7] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden.On the convergence of B-spline wavelets to gabor functions[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1992,38(2):864-872.

[8] N.Kingsbury. Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis,2001,10:234-253.

[9] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden. A family of polynomial spline wavelet transforms[J]. Signal Processing,1993,30(2):141-162.

[10] M.Liebling,T.Blu,and M.Unser. Fresnelets:new multiresolution wavelet bases for digital holography[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2003,12(1):29-43.

Exponential B-splines and Gabor function

FENG Hui,Tuerhongjiang·ABUDOUKELIMU*,Reyimuhan·REXITI,ZHANG Xiao-yan

(SchoolofMathematicalSciences,XinjiangNormalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:This paper analyzes some properties of the exponential B-splines,in order to use them as a shift invariant base.By choosing a particular set of parameters,Gabor-like functions are obtained,which have good time-frequency localization.Explicit formulation for lower order functions is given,which is useful for adjusting the parameters.Finally,the relations for a multi-resolution and wavelet analysis are given.

Key words:Exponential B-splines; Gabor-like functions; Multi-resolution

中图分类号:O174.2

文献标识码：A

文章编号：1008-9659(2016)01-053-05

[作者简介]冯惠(1990-),女,甘肃古浪人，硕士研究生，从事小波分析及其应用方向的研究。*[通讯作者] 吐尔洪江·阿布都克力木(1962-)，男，新疆乌鲁木齐人，教授，从事小波分析及其应用方向的研究。

[基金项目]国家自然科学基金资助项目(11261061，61362039，10661010)；新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目(200721104)。

[收稿日期]2015-12-12