随机负债下脆弱期权定价

薛　红，衡　晓(西安工程大学理学院，西安 710048)



随机负债下脆弱期权定价

薛红，衡晓(西安工程大学理学院，西安 710048)

摘要：假定股票价格、公司资产价格和公司负债均服从次分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立次分数Brown运动环境下的金融市场模型，利用次分数Brown运动随机分析理论及保险精算的方法，获得随机负债下脆弱期权定价公式.

关键词：次分数布朗运动；随机负债；脆弱期权；保险精算方法

20世纪70年代 Black-Scholes发表了关于期权定价的开创性论文[1].目前国内外有不少的学者研究了期权的定价问题[2-3]，Johnson和Stulz首次分析了含有信用风险的期权定价问题[4]，并将这种容易遭受交易对手违约的期权称为脆弱期权.Klein在期权出售者的信用风险与基础资产价值相关的假设下得到脆弱期权的定价公式[5-6]；黄玲君应用风险中性原理，利用概率论的方法给出脆弱欧式期权的定价公式[7]；潘坚利用对冲方法到处脆弱欧式期权的定价模型，并利用偏微分方程方法得到脆弱期权的显示定价公式[8]；许艳红利用保险精算方法，推导出脆弱期权定价公式[9].但次分数布朗运动是比布朗运动更为一般高斯过程，很多学者建议用次分数Brown运动来描述金融市场数学模型[10-12].该文利用次分数Brown运动的随机分析理论以及保险精算方法[13]对脆弱期权定价问题进行了研究，并获得随机负债下脆弱期权定价公式.

1金融市场数学模型

假设股票价格St、公司价值Vt与公司负债Dt分别服从由次分数Brown运动驱动的随机微分方程

(1)

(2)

(3)

引理1[17]随机微分方程(1)，(2)的解分别为

βS(u)=μ1,u∈(0,t);

公司资产价值{Vt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βV(u)=μ2,u∈(0,t);

公司负债{Dt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βD(u)=μ3,u∈(0,t);

证明：由随机微分方程可证.

2随机负债下脆弱期权定价公式

设在期权到期T，若VT≥DT，则不发生违约，公司的债权人可以得到金额XT；若VT

对于脆弱欧式看涨期权，不违约情形下损益为XT=(ST-K)+, 在违约或破产情况下损益为XT=δT(ST-K)+.

定义3脆弱欧式看涨期权在0时刻的保险精算价格定义为

其中

标的资产St用期望回报率βs(u)贴现，公司资产价值Vt用期望回报率βV(u)贴现，公司负债Dt用期望回报率βD(u)贴现，而执行价格K用无风险利率r贴现.

定理1脆弱欧式看涨期权在0时刻的保险精算价格为

其中

b1=a1-σSTH,b2=a2-ρσSTH,

c1=a1+ρσδTH,c2=-a2-σδTH,

d1=a1+(ρσδ-σS)TH,

d=-a2+(ρσS-σδ)TH,

证明 记

E1-E2+E3-E4.

其中

exp{-rT}KN2(b1,b2,ρ)

从而定理证毕.

参考文献：

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Vulnerable option pricing under stochastic liability

XUE Hong, HENG Xiao

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract：It was assumed that stock price, corporate value and liability obey the stochastic differential equation driven by sub-fractional Brownian motion. The vulnerable option pricing model was established using the stochastic analysis of the fractional Brownian motion and the method of actuarial mathematics. The pricing formula for vulnerable option was obtained by sub-fractional Brownian motion.

Key words：sub-fractional Brownian motion; stochastic liability; vulnerable option; actuarial approach

中图分类号：F830

文献标识码：A

文章编号：1672-0946(2016)01-0103-04

作者简介：薛红(1964-)，男，博士，教授，研究方向：随机分析及金融工程.

基金项目：陕西省自然科学基金项目(2010JM1010)；陕西省教育厅自然科学专项基金项目(12JK0862).

收稿日期：2015-06-04.