矩阵反可交换的研究

袁　笛，刘佳琦(哈尔滨商业大学 基础科学学院， 哈尔滨 150028)



矩阵反可交换的研究

袁笛，刘佳琦(哈尔滨商业大学 基础科学学院， 哈尔滨 150028)

摘要：给出反可交换矩阵的一些性质，并给出一些矩阵反可交换的充分必要条件.

关键词：矩阵；反可交换；可逆矩阵

矩阵理论不单单是一种数学理论，且在医学、工程等领域发挥着重要作用.矩阵的运算不同于一般数的运算.数的运算满足的运算公式，矩阵运算并非成立.在矩阵运算中，如果AB=-BA,称A，B为反可交换矩阵.目前的研究状况下，对这类反可交换矩阵研究的相对较少[1-3]，所以本文基于反可交换的定义[4]，给出一些反可交换矩阵的一些性质、定理.以丰富矩阵反可交换理论部分的相关结果.本文的矩阵均指n阶实方阵.

定义1[5]：如果n阶矩阵A,B满足AB=-BA，则称矩阵A与B反可交换.

定理1设阶矩阵A与B反可交换，则：

证明：使用数学归纳法证

首先当m=1时，有：

等式成立；

假设当m=k时等式成立，即:

下证当m=k+1时等式也成立.

当m=k+1时有：

(AB)k+1=(AB)k(AB)

即当m=k+1时等式仍然成立.

综上所述，可知定理得证.

证明 由于矩阵A与B反可交换，所以有AB=-BA成立

(AB)m=(AB)(AB)…(AB)(m个AB)

=(-1)m-1A2B(AB)…(AB)B(m-2个AB)

=(-1)m-1+m-2A3B(AB)…(AB)B2(m-3个AB)

……

=(-1)(m-1)+(m-2)+…+AmBm

定理得证.

推论1[1]设阶矩阵A与B反可交换，

n=1,2,…

证明 当m=4n-2,m=4n-1时，

当m=4n,m=4n+1时，

所以有：

n=1,2,……

从而有：

n=1,2,…

故推论得证.

定理3设n阶矩阵A与B反可交换，若A与B均为幂零矩阵，则AB,A+B均为幂零矩阵.[6]

证明 已知n阶矩阵A与B反可交换，则AB=-BA显然成立.若A与B均为幂零矩阵，即∃m,n∈N使得Am=0,Bn=0 可以得知(AB)k=(-1)k(k-1)/2AkBk=0,所以当m≤k或n≤k或者两者同时成立时，(AB)k=0成立，故AB是幂零矩阵.

由于A,B反可交换，所以AB+BA=0.同时由

A2B2=AABB=A(-BA)B

=BAAB=BA(-BA)=B2A2

可知A2,B2可交换.于是有：

(A+B)2k=[(A+B)2]k

=(A2+aB+BA+B2)k

=(A2+B2)k

故由Am=0,Bn=0，当mn≤k时，(A+B)2k=0，故A+B也是幂零矩阵，定理得证.

定理4若n阶矩阵A与B反可交换，则当n为奇数时，|A|=0或者|B|=0.

证明由矩阵A与B反可交换知AB=-BA，

|AB|=|A||B|，

|AB|=(-1)n|BA|=(-1)n|B||A|.

故当n为奇数时，有|A||B|=-|B||A|，即|A|=0或者|B|=0，定理得证.

定理5设矩阵A可逆，若矩阵A与B反可交换等价于矩阵A*与B反可交换.

同理可证充分性，故定理得证.

下例表明：若矩阵A与B反可交换，则未必有矩阵A*与B反可交换.

例1 设

下例表明：设A与B为同阶矩阵，若A*与B反可交换，则未必有A与B反可交换.

例2 设

上面两个例子说明定理5中矩阵A可逆这个条件不能去掉.

定理6 设A,B为同阶可逆矩阵，则A,B反可交换的充要条件是(AB)*=-A*B*.

证明必要性：由A,B均为可逆矩阵可以得到均为可逆AB,BA，且(BA)-1=A-1B-1.再由A,B反可交换得：

(AB)-1=(-BA)-1=-A-1B-1,

从而由

得：

所以有(AB)*=-A*B*.

故A,B反可交换.

定理7 设A,B为同阶可逆矩阵，则A,B反可交换的充要条件是A*,B*反可交换.

证明 必要性：由A,B反可交换可得AB=-BA,再由A,B均可逆得A-1B-1=-B-1A-1.

所以A*B*=-B*A*，故A*,B*反可交换.

充分性：由A*,B*反可交换得A*B*=-B*A*.

即A-1B-1=-B-1A-1.

从而得：(A-1B-1)-1=(-B-1A-1)-1,

故有BA=-AB,A,B,反可交换.

不妨假设矩阵A,B为同阶矩阵，显然(AB)T=(-BA)T是A,B反可交换的充要条件，当A,B均可逆时，(AB)-1=(-BA)-1是A,B反可交换的充要条件.下面讨论(AB)*=(-BA)*是否也为矩阵A,B反可交换的充要条件.

必要性显然成立.下面讨论充分性是否成立：

例3设矩阵

则(AB)*=(-BA)*，但是矩阵A,B不是反可交换的.因此，(AB)*=(-BA)*不是矩阵A,B反可交换的充分条件.

上例中A,B均不可逆，下例表明当矩阵A,B中有一个为可逆阵，另一个为不可逆阵时，(AB)*=(-BA)*也不是矩阵A,B反可交换的充分条件.

例4 设矩阵

则有(AB)*=(-BA)*，但是矩阵A,B不是反可交换的.

下面考虑矩阵A,B均可逆时的情形.

例5 设矩阵

这说明当矩阵A,B均为可逆矩阵的时候，(AB)*=(-BA)*不是矩阵A,B反可交换的充分条件，但是当矩阵A,B均可逆且为偶数阶时，(AB)*=(-BA)*是矩阵A,B反可交换的充分条件：

定理8 设A,B为同阶可逆矩阵且阶数为偶数时，则A,B反可交换的充要条件是(AB)*=(-BA)*.

证明必要性显然,下证充分性.

充分性：由矩阵A,B为同阶可逆矩阵，并且阶数为偶数时有|AB|=|-BA|≠0，且有，

于是由(AB)*=(-BA)*有：

故有：

所以AB=-BA,即矩阵A,B为反可交换矩阵.

设A,B为n阶矩阵，可知：

(A-B)(A+B)=A2+2AB-B2A2-2BA-B2

或(A±B)2=A2+B2等均为A,B反可交换的充要条件.下面我们考虑(AB)2=-A2B2或(AB)2=(BA)2时，矩阵A,B是否反可交换问题.

显然A,B反可交换时有(AB)2=-A2B2，(AB)2=(BA)2，下面例子表明它们均不是A,B反可交换的充分条件.

例6 设

则AB=B,BA=0.

从而(AB)2=B2=O=-A2B2，

(AB)2=B2=O=(-BA)2.

而AB≠-BA，故有：

(AB)2=-A2B2,(AB)2=(BA)2，

但A,B不可反交换. 显然上述例子中矩阵A,B均不可逆.

下面考虑矩阵A,B恰有一个为可逆矩阵.

例7 设

则有：

(AB)2=-A2B2=O,(AB)2=(BA)2=O

而AB≠-BA.这表明设A,B为同阶矩阵且恰有一个为可逆矩阵，则(AB)2=-A2B2不是A,B反可交换的充分条件，(AB)2=(BA)2也不是A,B反可交换的充分条件.

当A,B为同阶可逆矩阵时，若(AB)2=-A2B2，则有A-1(AB)2B-1=A-1(-A2B2)B-1,从而有BA=-AB，于是这时(AB)2=-A2B2是A,B反可交换的充分条件，于是有：

定理9 设A,B为同阶可逆矩阵，则反A,B可交换的充分必要条件是(AB)2=-A2B2.

例8 设

则A,B均可逆，且有：

(AB)2=(BA)2=-E，

AB=-BA，A,B反可交换.

例9 设

则A,B均可逆，且有(AB)2=(BA)2，但是AB=BA≠-BA，所以A,B不反可交换.

上例表明，当A,B均可逆时，(AB)2=(BA)2也不是A,B反可交换的充分条件.

参考文献：

[1]蔡晓静. 矩阵反可交换的条件及性质[J]. 高师理科学刊, 2012, 32(4): 22-24.

[2]戴立辉, 颜七笙, 刘龙章. 矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J]. 华东地质学院学报, 2002, 04: 353-355.

[3]唐建国. 与A可换矩阵空间的维数[J]. 河北师范大学学报:自然科学版, 1997, 21(1): 23-25.

[4]张禾瑞, 郝邴新. 高等代数[M].3版.北京: 高等教育出版社, 1983.

[5]唐建国, 杨振新. 与A反可换矩阵空间的维数[J]. 甘肃科学学报, 2006, 18 (1): 14-16.

Research on skew commutative matrix

YUAN Di, LIU Jia-qi

(School of Basic Science, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China)

Abstract：Some nature of the skew commutative matrix was given in this paper. And some necessary and sufficient conditions about some skew commutative matrixes were given.

Key words：matrix; skew commutative; invertible matrix

中图分类号：O211

文献标识码：A

文章编号：1672-0946(2016)01-0091-04

作者简介：袁笛(1991-)，男，硕士，研究方向：微分方程反问题.

收稿日期：2015-06-14.