由“问题解决”转变为“数学地思维”

张垚杰

摘 要：在小学数学的教学实践中，教师经常会遇到这样的困惑：学生已经具备了足够的知识基础，似乎也已掌握了相应的解题策略，但却仍然不能有效地解决问题。这样的现象，足以引起我们对解决问题的本质进行深入思考，并以此为基础促进教学方法和课堂行为的转变。以下是笔者就人教版四上教材中的一道练习，结合两次实践的体会，通过比较和反思，对从“问题解决”转变为“数学地思维”这一观点进行的探究。

关键词：问题解决；转变；数学地思维

在学习了第四单元中“积的变化规律”这一课之后，教材编排的“做一做”中有这样一道习题（图1）。意在利用所学知识解决实际问题，基本思路是：长不变（一个因数不变），宽增加到24米（另一个因数乘3），则扩大后的绿地面积为600平方米（积也乘3）。然而，在实际教学中，却是这样的情景：

（一）根据题意，尝试解决

分析题意，自主练习后指名回答：200÷8=25（米），25×24=600（平方米）。

师：请说说你的解题思路。（先计算出长是多少，再计算扩大后的绿地面积。）有多少同学是用这样的方法做的？（全班31个同学中有28个举起了手）

师：还有别的方法吗？能不能用这节课学过的知识来解决？

生：还可以这样想，长不变，宽乘以3，那么绿地的面积也要乘以3。

师：非常好，那么可以用怎样的一个算式表示？

生：200×3=600（平方米）。

（二）继续引导，深入探索

师：根据题目的信息，我们还可以提出什么问题？

生：还可以求扩大后的绿地面积比原来大多少？（追问：也就是什么部分的面积？）扩大部分绿地。（可以怎么计算呢？）自主练习后回答：600-200=400（平方米）。

师：如果不知道扩大后的绿地面积呢？600平方米这个条件是未知的怎么办？

生：先求出扩大后的绿地面积。（追问：非得求出这个条件吗？）

生：可以用200×3-200=400（平方米）。

师：你还是先计算出了600平方米。（多数学生表示疑惑）我们可以这样思考，什么条件没有发生改变？（长）什么发生了改变？发生了怎样的改变？（增加到24）也可以怎么说？（增加了16米）而16米正好是8米的（两倍）。那么积也？（要乘以2）现在想一想，要求增加部分绿地面积，我们只需怎样列式？生答：200×2=400（平方米）。

作为新知探索后的练习环节，学生已经对“积的变化规律”这一基础知识和相应的解题策略有了一定的理解。但是从解题结果来看，几乎全班学生都采用“先求出长方形的长，再计算面积”这一方法来解决。在教师“能不能用这节课学过的知识来解决”这一提问的引导下，才促使他们与刚刚学习的知识相结合从而得出另一种解法。在第二步深入探究中，当教师提出“600平方米这个条件是未知的怎么办？”学生的第一反应是“先求出扩大后的绿地面积。”而后，在教师对整个过程的逐步引导下得出了第二种解法。

反思以上教学实践，在第一次尝试解答中，学生受制于“问题——解决”定式的困扰，教师受制于“利用已学知识解决问题”这一思路的影响。导致了学生仅仅是跟随着教师的提问指引，被动地结合已学知识达成问题的解决。单从通过这一练习对本课知识的巩固来看，似乎起到了一定的作用，但是从问题的解决促进学生思维能力的发展角度分析，所能体现的价值却是微乎其微的。基于对这些问题的思考，笔者针对这一习题进行了再次设计和实践。

（1）提出问题，尝试解答

出示（图2），分析题意。利用这些信息你能提出什么数学问题？

生：增加后的绿地面积是多少？面积比原来增加了多少？（师：请选择一个问题解答。）

汇报交流。问题一：200÷8=25（米），25×24=600（平方米）。

问题二：200÷8×24=600（平方米），600-200=400（平方米）。

（2）比较解释，沟通联系

师：将计算结果与原来的面积相比较，你有什么发现？（增加后的绿地面积是原来的3倍，增加的部分相当于原来的面积乘以2。）你能用这节课学习的知识来解释一下吗？

生：因为长不变，宽增加到24米也就是8×3，面积也要乘以3。

生：因为长不变，宽增加了16米，也就是8×2，增加的面积就是原来的面积乘以2。

师：你能用算式表示吗？

生：200×3=600（平方米），200×2=400（平方米）。

师：比较这两种方法，主要的区别在于哪里？用到什么知识？（生答略）

（3）数形结合，拓展思路

师：不列式，你能用其他的方式解决这两个问题吗？

小组讨论汇报：可以通过画图的方法解决。（图3）

师：你们能看懂这张图的意思吗？谁来说一说。

生：长不变，宽增加到24米，面积是600平方米。增加部分的面积是400平方米。

（结合板书）小结：通过这些信息，我们提出了什么问题？（学生回答）用了几种方法来解答？你最喜欢哪种方法？谈谈你的感受。

（4）练习巩固，加深理解

师：还想试一试吗？（课件出示）有一块1公顷的正方形土地，将它的两边分别延长100米，面积增加了多少公顷？

分析题意后，由学生自己提出问题并选择其中一个进行解答。通过“将计算结果与原来的面积相比较，你有什么发现”的提问，引导学生主动结合所学知识加以解释，再通过方法比较使学生感知运用“积的变化规律”可以使算法优化。第三个步骤的设计，以“不通过列式，你能用其他的方式解决这两个问题吗”激发学生的探究热情，鼓励学生在符合要求的前提下用自己的方法达成问题的解决，再将利用数形结合解决的方法作为重点强化。课堂小结中的提问对整个过程进行了回顾和反思，之后的练习则使学生加深了对方法理解和掌握的程度。纵观整个实践过程，主要从以下三个方面凸显了对“解决问题”教学思路的转变：

一、由“关注结果”转变为“关注活动”

“传授—接受”式教学的具体表现之一，在于学生总是被要求去解答由其他人所提出的问题，关注点是问题解决的结果，而从动态的角度分析，在“解决问题”的教学中，我们显然更应关注数学活动本身。结合上文改进后的教学，可以对此类数学活动的一般方式进行简要概括：在分析已知条件的基础上提出相应问题可以看作是开展数学活动的起点；整个分析与解答的过程作为活动的主体以“尝试—探索—比较—拓展”为主线加以贯穿；对活动的回顾与反思体现在课堂小结中，最后设计相应的练习对活动的结果进行检测和评价。

二、由“问题解决”转变为“思维发展”

在对第一层转变深入理解之后，新的问题随之而来，既然把“问题解决”看作完整的数学活动，那么此类活动的主要目标是什么？如果仅仅着眼于对所学知识的在解决问题中的实际应用，那么上文中第一次教学实践也可认为达成相应目标。但是，如果着眼于更大的范围，数学知识不应被看成单纯的解决问题的工具，更对思维的训练和发展有着十分重要的意义。

因此，改进后的教学设计充分体现了“求取解答并继续前进”的思维发展理念：在第一次问题解决的基础上，先是通过比较解释的方式沟通与所学知识的联系，进一步提高要求设置的“开放式”作业，使学生可以依据自己的水平去求解，在引入并强化数形结合这一思想方法的同时，消除了学生头脑中因解题习惯性定式造成的不良影响。

三、由“被动接受”转变为“自觉探索”

在上文对第一次实践的片断进行的反思中已提到：学生仅仅是跟随着教师的提问指引，被动地结合已学知识达成问题的解决。改进后的教学，在问题的设计上则体现了“探究性”和“启发性”，其主要目的在于引出新的问题和进一步的思考。这里特别需要说明的是：首先，针对方法比较设计的问题可以使方法的“优化”成为学生的一种自觉行为；其次，解题活动最后阶段“回头看”式的提问设计应该作为学生自觉探索能力内化发展的重要环节；再次，在“开放性问题”的交流环节，教师的提问应当特别注重保护学生自觉探索的意识，从而帮助学生逐步掌握合理的猜想方法。

毫无疑问地说，小学生数学思维能力的形成和发展是一个长期的过程，而在这一过程中，问题的解决起着举足轻重的作用。以上探索和实践，仅仅是笔者立足于充分挖掘习题的内涵和价值方面的几点体验，供老师们教学时参考。