“勾股定理”的教育价值与教学策略分析

严晓冬

[摘 要] 每一个知识内容都有其内在的教育价值，将勾股定理置于数学知识体系和文化价值系统中进行分析，找到勾股定理与其他知识内容之间的横向、纵向联系有助于课堂教学策略的优化，帮助学生在习得知识的同时发展数学思维和学科素养.

[关键词] 勾股定理；直角三角形；关系；问题

勾股定理是初中数学教学的一个重点、难点问题，笔者在教学设计中首先从其内容出发，阐述勾股定理的教育价值和学科作用，接着就该节内容的课堂组织策略进行分析.

勾股定理的内容

搞清楚勾股定理的内容是有效实施教学的前提，具体的可以从代数和几何两个角度进行叙述.

1. 代数角度的叙述

文字表征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号表征：a2+b2=c2（a，b和c分别表示两直角边和斜边）.

2. 几何角度的叙述

文字表征：一个直角三角形，以两直角边为边的两个正方形的面积之和等于以斜边为边的正方形的面积.

图像表征：如图1所示.

勾股定理的教育价值

一个知识的教育价值是多方面的，对于勾股定理这个内容，其教育价值和学科价值有如下几个方面：

1. 文化价值

从数学史上看，人们发现勾股定理、验证勾股定理及应用勾股定理的过程蕴涵着丰富的文化价值，我们在教学过程中注重这些数学史、研究过程，有助于激发学生的数学学习兴趣，在学习过程中体悟其存在的意义和实际价值.

2. 学科价值

从勾股定理的内容来看，其同时具有代数和几何的双重特征，是初中数学阶段几何与代数之间问题研究的一个重要桥梁，从勾股定理的证明方法来看，“演绎法”“变换法”和“代数法”三种方法教给学生，尤其是学生通过学习变换法（拼图法），能够帮助他们感受和理解运动与变换.

知识的教育价值不仅仅表现在概念和规律本身，在教学中还应该渗透知识探究和被发现的过程. 勾股定理的发现、验证整个过程均蕴含着丰富的、可渗透的思维素材，和学生一起探索和证明勾股定理，能够丰富学生的学习经验，感悟数学学习和不断探索未知的价值：

（1）学生在探索过程中，探究图形基本元素之间的关系、几何结构，而这一过程必然涉及空间推理和演算，从中学生能够感悟到数形结合的思想方法，同时体会推理和证明的力量.

（2）学生通过勾股定理的探索和证明，会自然而然地形成一种意识，那就是要了解我们生存的空间，必须要学习更多的数学工具，并合理地应用.

勾股定理知识系统内结构分析

数学知识具有较强的系统性和完整性，置于知识系统中，勾股定理与其他知识有着怎样的联系，学生在学习进程中又有怎样的连贯性呢？

1. 知识间的横向联系

《勾股定理》在初中阶段与其他数学知识内容密切联系，如无理数、三角函数、方程、四边形、圆等知识.

2. 知识间的纵向联系

从学生的学习进程来看，初中之前，学生在小学阶段对三角形的三边关系有了一个初步的了解：两边之和大于第三边；步入初中，学习勾股定理内容前，学生通过探索也对直角三角形的性质有了一定的了解：“斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对直角边是斜边的一半. ”

那么，勾股定理在这里又有怎样的作用呢？学习了这一内容后，学生可以进一步从边的角度来定量地刻画直角三角形的特征，由此进一步深化学生对直角三角形的认知.

学生从初中步入高中阶段后呢？勾股定理有没有其价值呢？学生在高中将要继续学习任意三角形中边长与角度之间的数量关系，在学习和理解正弦定理和余弦定理时，需要用到勾股定理，可以将勾股定理视作为余弦定理的一种特殊情况.

整个学习过程对直角三角形边角的关系，是从定性到定量，从一般到特殊再到一般的思维进程.

帮助学生学会勾股定理的教学策略

如何帮助学生学会勾股定理呢？

1. “探索→猜想→证明”法

笔者发现当前有部分教师在和学生探究勾股定理时采用的方法是：首先让学生测量直角三角形三条边的长，接着要求学生猜想三条边长之间存在怎样的数量关系，在学生猜想出三边之间的平方关系后，再证明勾股定理.

这样的方式有怎样的缺点呢？

笔者曾经也尝试过这种方式，看似逻辑性很好，但是关键在于学生不容易猜想出三边之间的平方关系，猜想卡壳了，后面的证明就出不来了. 为什么会出现这样的困难呢？原因有二：一是学生在测量时本身就有误差；二是从思维角度来看，学生的确很难想到平方关系.

2. 利用方格纸进行探究

提供如图2、图3所示的方格纸.

首先，让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来.

这个时候学生会遇到怎样的困难呢？

因为直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形的面积. 其中正方形1和正方形2的面积可以通过数方格的方法直接数出来，而斜边上正方形（正方形3）的面积的计算则有一定的困难.

新的问题又出现了，怎么办呢？方法又有两个.

（1）“割”，如图4、图5所示.

（2）“补”，如图6、图7所示.

上述在方格纸上运用内割法或外补法求斜边上正方形面积的活动蕴含了勾股定理的证明思路，由图5可得c2=（a-b）2+4ab，由图7可得（a+b）2=c2+4ab，化简之后就得到a2+b2=c2. 因此，利用方格纸探究可以帮助学生较顺利地猜想出直角三角形三边的关系，同时水到渠成地获得定理的证明，使勾股定理的学习一气呵成.