可视化表征在工程问题中的应用

王宽明

一、 问题提出

美国数学教师协会在“学校数学的原则与标准”中提到，使用表征来模式化及诠释物理、社会或数学现象，可以有效增进学生对学习内容的理解。表征可以帮助学生理解问题、呈现解题方法及形成思路，它有助于“与别人沟通想法，或帮助学生重组相关概念间的关系连结，并应用数学解决客观世界的现实问题”[1]。在教学实践中，教师运用表征来帮助学生理解数学概念，学生通过表征来传达其所内化的数学概念，而且教师也可以“从学生的表征来检查其数学理解的程度”[2]。

“问题解决”能力是数学学科的关键能力，从“问题解决”的层面来看，形成表征是解题的初始阶段，在表征过程中可形成解题的线索。尤其外在表征更是解题的重要辅助；如果解题者对问题所形成的表征不正确或不恰当，将会影响其找到正确解题的思路与方法，故问题表征对解题成败有关键性的影响。Lesh提出与数学学习有关的五种表征，即“实物、教具模型、图形、语言与符号，其中前三个表征较为具体，后二个表征较为抽象”[3]。图形表征不但能帮助学生记忆知识，还能强化他们对内容的理解。“当教师帮助学生以图形表征方式呈现新知识时，学生能深入思考并记住相关知识，学习成就会提高。”[4]这里所谓的图像表征其实是一种可视化表征的方法，当个体面临解决数学问题时，会在脑海中或在纸上呈现与问题有关的图像，以帮助个体进行解题思路的可视化表征。

从教学实践来看，传统的教学往往要学生熟记公式，忽视公式的理解是否超过学生的认知，未能善用可视化的方法帮助学生理解问题。恰当的可视化表征能帮助学生理解数学问题，可避免抽象的符号运算带来的思维困惑。而对问题采用可视化表征，是减弱采用的逻辑推理的抽象符号表征的一种有效手段。基于此，本文以可视化表征在工程问题中的应用为例，以期使一线教师充分认识到使用可视化表征在发展学生解决问题能力上的优势，进而提高教学质量。

二、 “工程问题”的可视化表征

本文根据小学工程问题条件的呈现方式，将工程问题分为实—实对比、虚—实对比、虚—虚对比三类，其中“实”是指具体的量，“虚”是指相对的数值，通常情况表现为一种比例关系。Van Hiele 认为，利用可视化的表征方法有降低思考层次的效果。[5]研究运用可视化表征，通过不断对比两个量之间的关系来帮助学生理解问题，提高问题解决能力。

1.实—实对比

（1）工作量为整数

传统解法：直接教21÷（1-）=33的算则，或者利用比例求解，这对于学生而言，只是记忆算则而已，因为此算则内含当量除的观念，对学生来说似乎过于抽象。

可视化解法（图3）：图形代表的意义为的工作量需要21天，即将工作量分为11个单位，其中的7个单位是21天，那么1个单位（）的工作量需要3天（21÷7=3）。这样的解题策略是先画出工作总量有几个子单位，再从子单位的数据回头推算1个单位的量值。也就是说，透过图像表征出题意所给定的条件，继而求出的工作量需要3天，学生可能因此较容易看出整体1 （工作总量）需要33天。

3.虚—虚对比

例4，甲一天的工作量是乙的1倍，甲、乙两人合作需4天，如果甲、乙单独做分别需要几天完成？

解此题策略是利用基准化的观点，把基准量视为1，把比较量视为基准化后的比值，但站在学生的立场，甲、乙工作量之间，该定位何者为“基准量”、何者为“比较量”？常有混淆不清的困扰。若能引导学生使用可视化表征来增进题意的了解，进而找到解题的线索与理解算式的意义，则更能协助学生成功解题，建构数学知识。

可视化解法（图4）：

第一次对比：取乙为基准量，甲为对比量。甲、乙合作需要四天完成，甲为深色，乙为浅色。

第二次对比：四天以四行来表示，甲乙合作一天的工作量以一行来表示。每行：5+4=9个单位。

第三次对比：相对应甲乙合作一天而言，四天工作总量为9×4=36个单位

第四次对比：甲每天工作5个单位，相对于工作总量而言，需要36÷5=7天）

乙每天工作4个单位，相对于工作总量而言，需要36÷4=9（天）

以上工程问题，笔者皆提供了可视化表征的对照图。希望能通过可视化表征来帮助学生理解题意和解题过程、重组相关概念之间的关系连结。尤其在表征过程中可形成解题的线索，辅助学生成功解题。此外，在解题过程中，可视化图形既是辅助学生解题的素材，也是传达想法给他人了解，帮助两者相互沟通的表征工具。

三、 结论

由以上分析可知，就小学数学工程问题而言，可视化表征在解决问题过程中，需要结合三次表征，其主要思路如下：

但不管是透过语言或非语言的表征方式，教与学的互动就是师生不断表征的过程。然而，表征并非人类与生俱来的能力，而是学习得来的，且表征方式也随着年龄而渐次发展：从动作表征到图像表征，再到符号表征。虽然符号表征能力实属高阶思维，但人类的思考却是三种表征交替使用。也就是说，人类的思考其实是很有弹性的，有时用图像思考，有时用符号思考，但总是以有利于理解问题和解决问题为考虑。所以，解决数学问题当下所显现的思考也是如此，有时用具体表征，有时用图像表征，有时用符号表征，须视问题的情境来决定。而在教学的互动过程中，教师要用何种表征来帮助学生理解数学概念，除了依据问题的情境以外，同时也要取决于学生的认知程度。研究发现，对于小学数学工程问题的可视化表征，当问题类型为实—实、虚—虚对比时，采用单位格表示较为恰当，而虚—实类型比较适宜用线性的单位表示。

因此，教师面对抽象的问题时，应帮助学生建立心像，以作为思考的凭借与沟通的媒介。可视化表征对学生而言是心智技能的运用，需要不断的练习、反馈与修正，才能更为熟悉与精通。故教师平时就要指导学生练习视觉化表征，及时提供反馈，以帮助建立视觉化表征的解题策略，增进学生对数学概念的理解。

参考文献

[1] National Council of Teachers of Mathematics..Principles and standards for school mathematics. Reston， VA：Author.2000.

[2] English， L.D.，& Halford，G.S.Mathematics education：Models and processes. Mahwah， New Jersey：Lawrence Erlbaum Associates， Inc.1995.

[3] Grouws D A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M].New York：Macmillan Publish Company，1992.

[4] Marzano，R.，Pickering， D.，& Pollock，J.，Classroom instruction that works. Association for Supervision and Curriculum Development：Alexandria， VA： Association for Supervision and Curriculum Development.2001.

[5] Van Hiele，P.M. Structure and insight[M].New York：Academic Press.1986.

【责任编辑：陈国庆】