一类常考最值题的七种解法

蔡勇全

近年来，高考数学试题中有一位“常客”，形如“已知两个正实数x，y，满足ax+by=cxy，求Ax+By的最值.其中，a，b，c，A，B∈R+”.此类题目看似小巧精致，实则内涵丰富，因考查考生对学科内知识的综合运用能力和对多种数学思想方法的掌握程度而备受命题者的青睐.下面以一道高考题为例，向同学们展示这类题目的七种解法.

例题 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为

A. B. C.5 D.6

解 （解法1：分式代换）由x+3y=5xy，可得+=1.令=，=，其中a，b∈R+，则x=，y=，3x+4y=+=+·（+）≥+×2=5，当且仅当=，即b=a时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 当条件中含有xi=1时，可设xi=，其中i=1，2，…，n，n∈.

（解法2：对条件式进行因式分解，再对目标式实施配凑技巧）由x+3y=5xy变形，得（x-）（5y-1）=，即（3x-）（4y-）=，所以3x+4y=（3x-）+（4y-）+≥2+=5，当且仅当3x-=4y-，即x=1，y=时等号成立.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 解法2用到如下结论：若Ax+By+Cxy=0（A，B，C均为非零常数），则（x+）（Cy+A）=.

（解法3：消元代入后进行分母代换）由x+3y=5xy，可得x =.由x>0，可知y>.

3x+4y=+4y=.令5y-1= t，则y=，且t>0.于是可得3x+4y===++≥+2=5，当且仅当=，即t=时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 在解法3中，对也可不进行分母代换而直接分离系数，再利用基本不等式求得结果.但是，这种解法需要解题者具有整体性视野，而且运算量较大.

（解法4：整体代换并结合判别式法）令3x+4y=k，则x=-.将其代入x+3y=5xy，整理得20y2+（5-5k）y+k=0.依题意，该方程的根为正实数，所以Δ=（5-5k）2-80k≥0，且->0，解得k≥5.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 实施整体代换，也可以这样处理：令3x+4y=k.由x+3y=5xy，可得（3x+4y）（x+3y）=5kxy.分离参数，得k===·（++13）≥（2+13）=5，当且仅当=，即x=2y时等号成立，此时x=1，y=.

（解法5：三角代换）由x+3y=5xy，可得+=1.令=sin2α，=cos2α，α∈（0，），则x=，y=，3x+4y=·+·=·+·=+·tan2α+≥+2=5，当且仅当tan2α=，即tan2α=时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 利用sin2α+cos2α=1进行代换是最常见的三角代换方式之一.三角代换的常用方法还有：若+=1，则可设x=acos θ，y=bsin θ；若含有，则可考虑设x=acos θ或x=asin θ；若含有，则可考虑设 x=atan θ 等.

（解法6：常数代换）由x+3y=5xy，可得=1，所以3x+4y=（3x+4y）·1=（3x+4y）·=（3x+4y）·（+）=++=+（+）≥+×2=5，当且仅当=，即x=2y时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 在数学运算中，巧妙地对常量1进行代换，往往会给我们的解题带来极大的方便.

（解法7：均值代换）由x+3y=5xy，可得+=1.令=-d，=+d，其中-

3x+4y ==.令26-20d=t（16

所以，3x+4y≥5，3x+4y的最小值为5，此时d=，x=1，y=.选C.

小结 在解法7中，对的倒数进行系数分离是受解法3的启发而得到的.

从这七种解法我们可以看出，熟练掌握各种运算技巧是正确求解最值问题的前提和关键，而这些技巧源于教材且高于教材.所以，我们在高三复习备考过程中，既要重视对教材的研究，又要加强对知识的综合运用.

（责任编校 冯琪）