注重解后反思，提高解题能力

孟方明

一、反思解题为何失败

当解题失败时，同学们可以通过反思思维是从何开始，思维过程中遇到哪些障碍，来探索失败的原因，从中总结解题经验，吸取失败的教训，提高解题能力.

例1 已知实数x，y满足1≤x+y≤3， ①-1≤x-y≤1， ②

求4x+2y的取值范围.

错解 ①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8. ③

②×（-1），得-1≤y-x≤1. ④

①+④，得0≤2y≤4. ⑤

③+⑤，得0≤4x+2y≤12.

许多同学认为，这种解法利用了不等式的性质，应该无懈可击，怎么会错呢？

反思 由该解法得到的范围的两个端点能取到吗？同学们发现，当x取最大值2时，代入①式，得-1≤y≤1，与⑤矛盾，从而0≤4x+2y≤12中的12取不到，即所求得的范围被放大了.

该解法利用了什么知识？能保证问题的等价性吗？同学们可以发现，该解法利用了不等式的可加性，而利用可加性容易使解集扩大.

正解 设x+y=m，x-y=n，得1≤m≤3，-1≤n≤1，则x=，y=.于是可得4x+2y=3m+n，从而有2≤4x+2y≤10.

点评 以问题的错解为契机，反思错误解法的成因，寻找错误根源，辨别真伪，质疑思辨，并以此探索问题的正解，使思维的批判性得到有效的训练.

二、反思解法是否最优

在时间允许的情况下，同学们不妨在解完一道题后再想一想，此题还有其他解法吗？这种解法是否最优？这样有利于同学们将所学知识融会贯通，使同学们的思维空间更为广阔.

例2 已知函数f（x）=1-，x∈（0，1），若不等式f（x）>m·2x-2恒成立，求正数m的取值范围.

拙解 由题意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，则t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.

设F（t）= mt2+（m-3）t-1，配方得F（t）=m（t-）2-1-.

①当≤，即m≥时，点（2，F（2））离对称轴更远，则F（t）

②当>，即0

综上可得，m的取值范围是0

反思 上述解法需要分类讨论，过程显得非常繁琐.为避免分类讨论，我们反思是否可以从其他角度入手来优化解法呢？

优解1 由题意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，则t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.

设F（t）= mt2+（m-3）t-1，配方得F（t）=m（t-）2-1-.由m>0，可知抛物线的开口向上，所以F（t）<0对应抛物线在x轴下方的图像，如右图所示，它是一条连续不断的曲线.于是可知F（1）≤0，F（2）≤0，解得m的取值范围是0

优解2 由题意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，则t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.于是有m<.

==+.由于，均在（1，2）上递减，所以+在（1，2）上递减，<+< 2.

所以，m的取值范围是0

点评 我们在解题后的多角度思考，不但使相关的知识得到梳理和巩固，而且可以开拓思路，加强知识之间的纵横联系，及时总结各类解题方法，从而养成“从优，从快”的解题习惯.

三、反思问题能否变换

如果总是就题论题，一题多解，那么思维层面还是局限于一道题.要让思维完全放开，彻底激活，还需要进一步反思，如果改变设问方式，会出现什么样的新问题？如果改变题目的条件，会导出什么样的新结论？如果保留题目的条件，结论能否进一步加强？条件作类似的变换，结论能扩大到一般情况吗？这样富有创造性的全方位思考，常常是发现新问题、认知新知识的突破口.

例3 已知点P在椭圆x2+2y2=1上运动，求点A（0，）到动点P的距离AP的最大值.

反思 在本题中，椭圆方程和点A都是确定不变的.我们可以考虑对题目进行一些改编，将这一静止的问题改编成动态的问题，抑或大胆联想，积极类比，请出椭圆的“兄弟姐妹”.

1.横向拓展

变式1 已知点P在椭圆x2+2y2=1上运动，定点为A（0，a）（a>0），求AP的最大值.

变式2 动点Q在圆x2+y2-y=0上运动，动点P在椭圆x2+2y2=1上运动，求PQ的最大值.

变式3 已知点P在椭圆x2+2y2= t2上运动，若点A（0，）到点P距离的最大值为，求椭圆方程及此时点P的坐标.

2.纵向类比

变式4 已知点P在双曲线2x2-y2=1上运动，求点A（0，）到动点P的距离AP的最小值.

变式5 已知点P在抛物线y2=2x上运动，求点A（0，）到动点P的距离AP的最小值.

点评 如果说一题多解实现了“点到线”的变化，一题多变实现了“线到面”的变化，那么多题归一则进一步实现了“面到体”的变化.这些变化不仅充分发挥了问题的潜能，更使同学们的能力得到提升.

（责任编校 冯琪）