如何解答全国新课标卷二中的特色题

郭统福

亮点1：利用函数的性质求参数的范围

例1 （文科卷第12题）设函数f（x）= ln（1+|x|）-，则使得f（x）> f（2x-1）成立的x的取值范围是

A.（，1） B.（-∞，）∪（1，+∞）

C.（-，） D.（-∞，-）∪（，+∞）

难度系数 0.50

分析 根据函数的奇偶性与单调性，我们可由f（x）> f（2x-1）求出自变量的取值范围.

解 由f（x）=ln（1+|x|）-，可知函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数.于是f（x）> f（2x-1）等价于 f（|x|）> f（|2x-1|），即|x|>|2x-1|，解得

小结 根据函数值的大小求参数的取值范围，我们首先要判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性.若是奇函数，则可根据单调性脱去函数符号，从而求出自变量的取值范围；若是偶函数，则可将f（u（x））> f（t（x））转变为f（|u（x）|）> f（|t（x）|），若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得|u（x）|>|t（x）|，否则有|u（x）|<|t（x）|.

亮点2：对双曲线的考查

例2 （理科卷第11题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

A. B.2 C. D.

难度系数 0.60

分析 解答本题时，我们首先要作出图像，根据三角形的边角关系，确定点M的坐标，然后将坐标代入双曲线E的方程-=1（a>0，b>0），从而求出离心率.

解 设双曲线E的方程为-=1（a>0，b>0），如图1所示.据题意可知 |AB|=|BM|，∠ABM=120°.过点M作MN⊥x轴，垂足为N.在Rt△BMN中，|BN|= a，|MN|=a，所以点M的坐标为（2a，a）.将上述坐标代入双曲线的方程，可得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，整理得e=.选D.

小结 求双曲线的离心率，我们首先要正确地作出图像，根据几何意义适当地进行转化，从而求出双曲线上的点的坐标，找到a，b，c之间的关系，进而求出离心率.

亮点3：对函数图像的判断

例3 （理科卷第10题）如图2，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP =x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y= f（x）的图像大致为

难度系数 0.50

分析 本题要对0≤x≤、≤x≤和≤x≤π进行讨论，求出PA+PB关于x的解析式，然后根据函数的解析式来确定函数的大致图像.

解 由已知得，当点P在BC边上运动，即0≤x≤时，PA+PB=+tan x；当点P在CD边上运动，即≤x≤，且x≠时，PA+PB=+，当x=时，PA+PB=2；当点P在AD边上运动，即≤x≤π时，PA+PB=-tan x.

从点P的运动过程我们可以看出，轨迹关于直线x=对称，且f（）> f（），轨迹是非线性的.选B.

小结 判断函数的图像，首先是求出函数的解析式，根据函数的解析式，可以判断出函数的奇偶性和单调性，也可以利用函数的对称性，还可以取特殊值，然后根据特殊值来判断函数的图像.

亮点4：对圆的方程的考查

例4 （文科卷第7题）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为

A. B. C. D.

难度系数 0.65

分析 据题意可知，△ABC外接圆的圆心在BC边的垂直平分线上，我们可以设出圆心D的坐标为（1，b），然后根据DA=DB求出圆心的坐标，最终确定圆心到原点的距离.

解 据题意可知，△ABC外接圆的圆心在BC边的垂直平分线上，即在直线x=1上.设圆心D的坐标为（1，b），由DA= DB，可得|b|=，解得b=.故圆心D的坐标为（1，），则圆心到原点的距离d ==.选B.

小结 经过三角形三个顶点的圆，其圆心是三角形三条边的中垂线的交点，则可求出任意两边的中垂线方程，将两方程联立求出圆心的坐标，从而确定圆的方程.

亮点5：对数列求和的考查

例5 （理科卷第16题）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，则Sn=_____.

难度系数 0.65

分析 将an+1=Sn+1-Sn代入an+1=SnSn+1，整理得-=-1.根据数列{}是以-1为首项、-1为公差的等差数列来进行求解.

解 由已知得Sn+1-Sn= SnSn+1.将上述等式的两边同时除以SnSn+1，得-=-1，则数列{}是以-1为首项、-1为公差的等差数列.所以有=-1-（n-1）=-n，即Sn=-.

小结 涉及递推数列的问题，当遇到与an，Sn有关的问题时，我们可以利用an=Sn-Sn-1（n≥2）进行适当的转化，可以都转化为与an有关的式子，也可以都转化为与Sn有关的式子，再将不是等差数列或等比数列的数列，经过适当的转化，变形为等差数列或等比数列，然后利用等差数列或等比数列的桥梁作用来解决问题.

（责任编校 周峰 冯琪）