全国新课标卷一创新题展示

廖东明

亮点1：内核依旧，方法相似，载体创新

例1 （文科卷第16题）已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）.当△APF周长最小时，该三角形的面积为_____.

难度系数 0.65

分析 根据题意，画出草图，可知△APF的周长随点P在左支上的运动而发生变化，A，F为定点，AF为定长.凭直观，点P应位于双曲线的左支且在第二象限比较靠近y轴的某个位置，从而使得△APF的周长最小.直接利用|AP|+|PF|>|AF|不奏效，于是我们联想到双曲线的定义，将其转化为求|PA|+|PF1|的最小值则十分容易，进而求出此时点P的坐标，再求出△APF的面积即可.

解 依题意可知，双曲线C：x2-=1的右焦点为F（3，0），实半轴长a=1，左焦点为F1（-3，0）.由于P是C的左支上一点，所以|PF|-|PF1|=2a=2，则△APF的周长l=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|≥|AF1|+2+|AF|=15+2+15=32，当且仅当A，P，F1三点共线且点P在A，F1之间时取得等号，此时直线AF1的方程为+=1，即y=2x+6.由y=2x+6，8x2-y2=8，消去y整理得（x+2）（x+7）=0，从而可知点P的坐标为（-2，2）（-3

小结 定义转化、动静结合、几何法研究最值是解析几何中的常见问题，有的还需要利用对称性进行转化求解.

亮点2：数形结合，设而不求，沟通运算

例2 （文科卷第21题）设函数 f（x）=e2x-aln x.

（Ⅰ）讨论 f（x）的导函数 f ′（x）零点的个数；

（Ⅱ）证明：当a>0时， f（x）≥2a+aln .

难度系数 0.55

分析 解答第（Ⅰ）问时，我们可先求出f ′（x），再研究f ′（x）的单调性，进而判断零点的个数，也可以利用零点存在性定理来解答，或者将原问题转化为两图像交点的个数问题来解答.要证明第（Ⅱ）问，我们根据第（Ⅰ）问可知，f ′（x）有唯一的零点x0，但是由2=无法求出x0，可利用设而不求，将其进行沟通运算，进而得到结果.

（Ⅰ）解：据题意可知，函数f（x）=（e2）x-aln x的定义域为（0，+∞），f ′（x）=（e2）xln e2-=2e2x-（x>0）.

当a≤0时，f ′（x）>0，此时f ′（x）没有零点.当a>0时，由于y=2e2x单调递增，y=-在（0，+∞）上单调递增，所以f ′（x）在（0，+∞）上单调递增.又f ′（a）=2e2a->0，当0 4且00时， f ′（x）存在唯一的零点x0∈（b，a）.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可设 f ′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时， f ′（x）<0，此时 f （x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时， f ′（x）>0，此时 f （x）单调递增，所以当x=x0时， f （x）取得最小值，且最小值为 f （x0）.由f ′（x0）=2-=0，得2=，2x0+ln 2=ln a-ln x0，所以-ln x0=2x0+ln .故f （x0）=-aln x0 =+2ax0+aln ≥2a+aln .

小结 对某个零点x0设而不求，只是让x0参与运算（含在恒等变换中起着沟通作用），进而解决相关的问题.此类问题是近年高考的热点题，本题可谓将其发挥得淋漓尽致.

亮点3：四边形问题内藏三角形，点运动定临界

例3 （理科卷第16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是_____.

难度系数 0.55

分析 由∠B=∠C=75°及BC=2确定等腰△EBC，再作∠BAD=75°，然后平行移动AD，让点A在BE上运动，进而确定点A的两个极限位置（可无限接近但不能到达），从而解三角形求出取值范围.

解 如图1所示，作等腰△EBC，使得∠B=∠C=75°，BC=2.作直线AD分别交线段EB，EC于点A，D（不与端点重合），且使∠BAD=75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作CF∥AD，交BE于点F.在△CFB中，CF=CB=2，∠CBF=75°，BF=2×BF=2×2cos 75°= 4×=-.在△EBC中，BE===+.

故AB的取值范围是（-，+）.

小结 解决具有迷惑性且被“包装”过的问题，我们要善于揭开表象，发现本质，这样方能找到破解的钥匙.数形结合、动静结合、确定临界位置，用这样的方法来解决的试题是高考中的常态.

亮点4：转化构图，“存在”设题，界点定域

例4 （理科卷第12题）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则a的取值范围是

A.[-，1） B.[-，）

C.[，） D.[，1）

难度系数 0.48

分析 我们可以尝试分离参数a进行研究，但需要对进行分类讨论，且要选择合适的研究方法.我们也可将原问题先转化为ex（2x-1）